《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

5. 如图 1,北中环桥是太原市的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2 所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 $ A,B $ 两点,拱高为 $ 78 $ 米(即最高点 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 78 $ 米),跨径为 $ 90 $ 米(即 $ AB = 90 $ 米),以最高点 $ O $ 为坐标原点,以平行于 $ AB $ 的直线为轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函数表达式为(B).


A.$ y = \frac{26}{675}x^2 $
B.$ y = -\frac{26}{675}x^2 $
C.$ y = \frac{13}{1350}x^2 $
D.$ y = -\frac{13}{1350}x^2 $

答案： B

6. 如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 $ 2 \, m $ 时,水面宽 $ 4 \, m $,水面下降 $ 2 \, m $,水面宽度增加$(4\sqrt{2}-4)m$.

答案： $(4\sqrt{2}-4)m$

7. 某游乐园有一个直径为 $ 16 $ 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心 $ 3 $ 米处达到最高,高度为 $ 5 $ 米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合. 如图所示,以水平方向为 $ x $ 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高 $ 1.8 $ 米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到 $ 32 $ 米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.

答案： 7.解:
(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = a(x - 3)^{2}+5(a≠0)$，将$(8,0)$代入$y = a(x - 3)^{2}+5$，得$25a + 5 = 0$，解得$a = -\frac{1}{5}$，$\therefore$水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}(x - 3)^{2}+5(0 ＜ x ＜ 8)$.
(2)当$y = 1.8$时，有$-\frac{1}{5}(x - 3)^{2}+5 = 1.8$，解得$x_{1} = -1$，$x_{2} = 7$，$\therefore$为了不被淋湿，身高$1.8$米的王师傅站立时必须在离水池中心$7$米以内.
(3)当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{5}×(0 - 3)^{2}+5=\frac{16}{5}$.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}x^{2}+bx+\frac{16}{5}$，$\because$该函数图象过点$(16,0)$，$\therefore 0 = -\frac{1}{5}×16^{2}+16b+\frac{16}{5}$，解得$b = 3$，$\therefore$改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为$y = -\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=-\frac{1}{5}(x - \frac{15}{2})^{2}+\frac{289}{20}$.$\therefore$扩建改造后喷水池水柱的最大高度为$\frac{289}{20}$米.