《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $,当 $ x ＜ 6 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,当 $ x ＞ 6 $ 时 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,其最小值为 $ -12 $,其图象与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标是 8,求此函数的解析式.

答案： 解:由题意得:对称轴为$x=6$,顶点$(6,-12)$,
可设顶点式:$y=a(x-6)^{2}-12$,
把点$(8,0)$代入得$0=4a-12$,
解得$a=3$,
所以,$y=3(x-6)^{2}-12$,
即$y=3x^{2}-36x+96$.

1. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的最大值是 2,图象顶点在直线 $ y = x + 1 $ 上,并且图象经过点 $ (3,-6) $. 求二次函数表达式.

答案： 解:
∵函数$y=ax^{2}+bx+c$的最大值是2,函数图象的顶点在直线$y=x+1$上,
∴$y=2$,则$2=x+1$.
解得$x=1$,
∴二次函数顶点坐标为$(1,2)$,
∴设抛物线解析式为$y=a(x-1)^{2}+2$.
∵函数图象经过点$(3,-6)$,
∴$-6=a(3-1)^{2}+2$.
解得$a=-2$,
∴$y=-2(x-1)^{2}+2=-2x^{2}+4x$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ AB $ 与抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 交于 $ A(-1,0) $ 和 $ B(2,3) $ 两点,抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求一次函数和二次函数的解析式；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的面积.

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y=-x^{2}+bx+c$交于$A(-1,0)$和$B(2,3)$两点
∴$\begin{cases} -1-b+c=0 \\-4+2b+c=3 \end{cases}$,解得:$\begin{cases} b=2 \\c=3 \end{cases}$,
∴抛物线解析式为$y=-x^{2}+2x+3$,
设直线$AB$的解析式为$y=mx+n(m\neq n)$,
则$\begin{cases} -m+n=0 \\2m+n=3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} m=1 \\n=1 \end{cases}$,
∴直线$AB$的解析式为$y=x+1$;
(2)令$x=0$,则$y=-x^{2}+2x+3=3$,
∴$C(0,3)$,
则$OC=3$,$BC=2$,$BC// x$轴,
∴$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}× BC× OC=\dfrac{1}{2}×2×3=3$.