《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 4$,$\triangle ABC的面积为2$,则$\tan A+\tan B$等于(D)。
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{16}{5}$
D.$4$

答案： D

5. 已知$P是\angle\alpha的边OA$上一点,点$P的坐标为(12,5)$,则$\tan\alpha=$$\frac{5}{12}$。

答案： $\frac{5}{12}$

6. 如图,过点$C(-2,5)的直线AB分别交坐标轴于A(0,2)$,$B$两点,则$\tan\angle OAB$的值为(B)。

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： B

7. 比较大小：$\tan36^{\circ}$＜$\tan37^{\circ}$。

答案： ＜

8. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,如果$\tan A= \frac{5}{12}$,$AB = 26$,那么$S_{\triangle ABC}= $120。

答案： 120

9. 如图,上坡$AB的坡度为5:12$,一辆汽车从山脚下$A$处出发,把货物运送到距山脚$500m高的B$处,求汽车从$A到B$所行驶的路程。

答案： 解:$\because \tan A=\frac{5}{12}=\frac{BC}{AC}$,$\therefore AC=1200(m)$,在$Rt\triangle ACB$中:$\angle C=90°$.$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$$\therefore AB=1300\ m$.

10. 如图,$CD$是一个平面镜,光线从$A点射出经CD上的E点反射后照射到B$点,设入射角为$\alpha$(入射角$\alpha$等于反射角),$AC\perp CD$,$BD\perp CD$,垂足分别为$C$,$D$。若$AC = 3$,$BD = 6$,$CD = 12$,求$\tan\alpha$的值。

答案： 解:由镜面反射对称可知:$\angle A=\angle B=\angle \alpha$,$\angle AEC=\angle BED$,$\therefore \triangle AEC\backsim\triangle BED$.$\therefore \frac{AC}{BD}=\frac{CE}{DE}$.又$AC=3$,$BD=6$,$CD=12$,$\therefore \frac{3}{EC}=\frac{6}{12-EC}$,$\therefore EC=4$,$\therefore \tan\alpha=\tan A=\frac{EC}{AC}=\frac{4}{3}$.

11. 如图,在菱形$ABCD$中,$AE\perp BC于E$,$EC = 1$,$\tan B= \frac{5}{12}$,求菱形的边长和四边形$AECD$的周长。

答案： 解:在$Rt\triangle ABE$中:$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{5}{12}$,$\therefore$ 设$AE=5x$,$BE=12x$.在$Rt\triangle ABE$中,由勾股定理,得$AE^2+BE^2=AB^2$,$\therefore AB^2=169x^2$,$\therefore AB=13x$. 在菱形$ABCD$中:$AB=BC=CD=AD$,$\therefore AB=BC$,即$13x=12x+1$$\therefore x=1$,$\therefore AE=5$,$BE=12$,$AB=13$,$\therefore C_{四边形AECD}=13+5+1+13=32$.

1. 如图,在$□ ABCD$中,$O是对角线AC$,$BD$的交点,$BE\perp AC$,$DF\perp AC$,垂足分别为点$E$,$F$。
(1)求证：$OE = OF$；
(2)若$BE = 5$,$OF = 2$,求$\tan\angle OBE$的值。

答案： 证明:
(1)$\because □ ABCD$中$\therefore OD=OB$$\because BE\perp AC$,$DF\perp AC$,$\therefore \angle DFO=\angle BEO=90°$又$\because \angle DOF=\angle BOE$$\therefore \triangle DOF\cong\triangle BOE(AAS)$$\therefore OE=OF$解
(2)$\because OE=OF$,$OF=2$$\therefore$ 在$Rt\triangle OBE$中,$\tan\angle OBE=\frac{OE}{BE}=\frac{2}{5}$

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$中点,$\tan\angle BCD= \frac{1}{3}$。求$\tan A$的值。

答案： 解:过点$D$作$DE\perp BC$于点$E$,设$DE=x$,则$CE=3x$,在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB=90°$,$D$为$AB$中点,$\therefore CD=AD=BD=\frac{1}{2}AB$,$\therefore E$为$BC$中点,$\therefore BC=6x$.在$Rt\triangle CDE$中:$CD^2=CE^2+DE^2$,$\therefore CD=\sqrt{10}x$,$\therefore AB=2\sqrt{10}x$.在$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB=90°$,$AB^2=AC^2+BC^2$,$\therefore AC=2x$,$\therefore \tan A=\frac{BC}{AC}=3$.