《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 菱形是轴对称图形,对称轴有(B)条.
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

2. 在菱形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,则对角线 $AC$ 等于(D).
A.12
B.9
C.6
D.3

答案： D

3. 如图,已知菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 的长分别为 $6\ cm$,$8\ cm$,$AE \perp BC$ 于点 $E$,则 $AE$ 的长是(D)$cm$.

A.$5\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$\frac{48}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

答案： D

4. 菱形 $ABCD$ 的周长为 $8\sqrt{5}$,对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$,$AC:BD = 1:2$,则 $AO:BO= $1:2,菱形 $ABCD$ 的面积 $S= $16.

答案： 1:2 ;16

5. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$OE \perp AB$,垂足为 $E$,若 $\angle ADC = 130^{\circ}$,则 $\angle AOE$ 的度数为65°.

答案： 65°

6. 已知菱形的面积等于 $80\ cm^2$,一组对边的距离为 $8\ cm$,则菱形的周长为40$cm$.

答案： 40

1. 菱形两条对角线的长分别为 $6$ 和 $8$,则这个菱形的周长为20.

答案： 20

2. 菱形的两邻角之比为 $1:2$,边长为 $2$,则菱形的面积为$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

3. 菱形的面积为 $24$,一条对角线长为 $6$,则菱形的边长为5.

答案： 5

4. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB,PF⊥AD，垂足分别是点E,F，若OA=4,$S_{菱形ABCD}$=24,则PE+PF 的长为().
A. $\frac{12\sqrt{13}}{13}$ B. $3$ C. $\frac{12}{5}$ D. $\frac{24}{5}$

答案： D

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $BC$ 边的中点,$E$、$F$ 分别在 $AD$ 及其延长线上,$CE // BF$,连接 $BE$,$CF$.
(1)求证：四边形 $BECF$ 是平行四边形；
(2)若 $AB = AC$,求证：四边形 $BECF$ 是菱形.

答案： 1. （1）
证明：
因为$D$是$BC$边的中点，所以$BD = CD$。
又因为$CE// BF$，所以$\angle FBD=\angle ECD$。
在$\triangle BDF$和$\triangle CDE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle FBD=\angle ECD\\BD = CD\\\angle BDF=\angle CDE\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle BDF\cong\triangle CDE$。
所以$DF = DE$。
因为$BD = CD$，$DF = DE$，根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形），所以四边形$BECF$是平行四边形。
2. （2）
证明：
因为$AB = AC$，$D$是$BC$边的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$。
即$EF\perp BC$。
又因为四边形$BECF$是平行四边形，根据菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），所以四边形$BECF$是菱形。
综上，（1）已证四边形$BECF$是平行四边形；（2）已证四边形$BECF$是菱形。

6. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$E$ 是 $BC$ 的中点,$AD // BC$,$AE // DC$,$EF \perp CD$ 于点 $F$.
(1)求证：四边形 $AECD$ 是菱形；
(2)若 $AB = 6$,$BC = 10$,求 $EF$ 的长.

答案：
分析:
(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;
(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.
(1)证明: $\because AD// BC$,$AE// DC$,$\therefore$ 四边形 AECD 是平行四边形,$\because \angle BAC=90°$,$E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore AE=CE=\frac{1}{2}BC$,$\therefore$ 四边形 AECD 是菱形.
(2)解:过 $A$ 作 $AH\perp BC$ 于点 $H$, $\because \angle BAC=90°$,$AB=6$,$BC=10$,$\therefore AC=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$.$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot AC$,$\therefore AH=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$,$\because$ 点 $E$ 是 $BC$ 的中点,$BC=10$, 四边形 AECD 是菱形,$\therefore CD=CE=5$,$\because S_{□ AECD}=CE\cdot AH=CD\cdot EF$,$\therefore EF=AH=\frac{24}{5}$.