《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

10. 如图,已知平行四边形 $ OABC $ 中,点 $ O $ 为坐标顶点,点 $ A(3,0) $,$ C(1,2) $,函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ C $。
(1) 求 $ k $ 的值及直线 $ OB $ 的函数表达式；
(2) 求四边形 $ OABC $ 的周长。

答案：
解:
(1)依题意有:点$C(1,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq 0)$的图象上,
$\therefore k=xy=2$,$\because A(3,0)\therefore CB=OA=3$,又$CB// x$轴,$\therefore B(4,2)$,
设直线 OB 的函数表达式为$y=ax$,$\therefore 2=4a$,$\therefore a=\frac{1}{2}$,
$\therefore$设直线 OB 的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x$.
(2)过点 C 作$CD\perp OA$于点 D,

$\because C(1,2)$,$\therefore OC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,
在平行四边形中 OABC 中,$CB=OA=3$,
$AB=OC=\sqrt{5}$,
$\therefore$四边形 OABC 的周长为$3+3+\sqrt{5}+\sqrt{5}=6+2\sqrt{5}$,即四边形 OABC 的周长为$6+2\sqrt{5}$.

11. 如图,已知直线 $ y = x - 2 $ 与双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ A(3,m) $。
(1) 求 $ m $,$ k $ 的值；
(2) 连接 $ OA $,在 $ x $ 轴的正半轴上是否存在点 $ Q $,使 $ \triangle AOQ $ 是等边三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)由题意可得
$m=3-2$
$\therefore m=1$ 即$A(3,1)$
把$A(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}$得,$k=3$
$\therefore$求得$m=1,k=3$
(2)存在,在 x 轴的正半轴上存在三个点$Q_{1}(6,0),Q_{2}(\frac{5}{3},0),Q_{3}(\sqrt{10},0)$