《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD\perp BC$,垂足为$D$,$AN是\triangle ABC外角\angle CAM$的平分线,$CE\perp AN$,垂足为$E$.
(1)求证：四边形$ADCE$为矩形；
(2)当$\triangle ABC$满足什么条件时,四边形$ADCE$是一个正方形？并给予证明.
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答案：
(1)证明:
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=1/2∠MAC,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠MAC=∠B+∠ACB,
∴∠MAE=∠B,
∴AN//BC,
∵AD⊥BC,
∴CE⊥AN,
∴AD//CE,
∴四边形ADCE为平行四边形.
∵CE⊥AN,
∴∠AEC=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)解:当△ABC为等腰直角三角形时,四边形ADCE为正方形.
∵△ABC为等腰直角三角形,AD⊥BC,
∴D为BC的中点,
∴AD=CD.
又四边形ADCE为矩形,
∴四边形ADCE为正方形.

5. 如图,在四边形$ABFC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC的垂直平分线EF交BC于点D$,交$AB于点E$,且$CF = AE$.
(1)求证：四边形$BECF$是菱形；
(2)当$\angle A$为多少度时,四边形$BECF$为正方形.
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答案：
(1)证明:
∵EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,
∴∠CBA=∠BCE,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA+∠A=90°,∠ECA+∠BCE=90°,
∴∠ECA=∠EAC,
∴EC=AE,
∴BE=AE,
∵CF=AE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
(2)解:当∠A=45°时,菱形BECF是正方形.
∵∠A=45°,∠ACB=90°,
∴∠CBA=45°,
∴∠EBF=2∠A=90°,
∴菱形BECF是正方形.

1. 如图,点$E$,$F$,$G$,$H分别为四边形ABCD的边AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点.
(1)试判断四边形$EFGH$的形状,并证明你的结论.
(2)对角线$AC与DB$满足怎样的关系时,四边形$EFGH$是菱形,并说明理由.
(3)对角线$AC与DB$满足怎样的关系时,四边形$EFGH$是矩形,并说明理由.
(4)对角线$AC与DB$满足怎样的关系时,四边形$EFGH$是正方形,直接给出结论.
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答案：
(1)四边形EFGH的形状为平行四边形
(2)AC=BD;
(3)AC⊥BD;
(4)AC=BD且AC⊥BD.

2. 如图,$P为正方形ABCD$内一点,$PA = 1$,$PB = 2$,$PC = 3$,求$\angle APB$的度数.
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答案： 解:将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ,如图所示.
因为△BAP≌△BCQ,
所以AP=CQ,BP=BQ,
∠ABP=∠CBQ,∠BPA=∠BQC.
因为四边形DCBA是正方形,
所以∠CBA=90°,所以∠ABP+∠CBP=90°,
所以∠CBQ+∠CBP=90°,即∠PBQ=90°.
所以△BPQ是等腰直角三角形,
所以PQ=√2 BP,∠BQP=45°.
因为PA=1,PB=2,PC=3,所以PQ=2√2,
CQ=1,
所以CP²=9,PQ²+CQ²=8+1=9.
所以CP²=PQ²+CQ²,所以△CPQ是直角三角形且∠CQP=90°,所以∠BQC=90°+45°=135°,所以∠BPA=∠BQC=135°.