《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 有20张背面完全一样的卡片,其中8张正面印有沙湖风光,7张正面印有苏峪口自然风景,5张正面印有六盘山景色。把这些卡片的背面朝上,洗匀后从中随机抽出一张卡片,抽到正面是沙湖风光卡片的概率是(C)。
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{7}{20}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{5}{8}$

答案： C

2. 一个盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标有数字1,1,2。随机摸出一个小球(不放回)其数字记为$p$,再随机摸出另一个小球其数字记为$q$,则满足关于$x的方程x^{2}+px+q= 0$有实数根的概率是(B)。
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： B

3. 现有四张卡片依次写有“银”“川”“加”“油”四个字(四张卡片除字不同外其他均相同),把四张卡片背面向上洗匀后,从中随机抽取两张,则抽到的汉字恰好是“银”“川”的概率是(C)。
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{5}{6}$

答案： C

4. 有三个完全相同的小球,上面分别标有数字1,$-2$,$-3$,将其放入一个不透明的盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀),设第一次摸到的球上所标的数字为$m$,第二次摸到的球上所标的数字为$n$,依次以$m$,$n作为点M$的横、纵坐标。求点$M(m,n)$在第三象限的概率$\frac{4}{9}$。

答案： $\frac{4}{9}$

5. 有$A$、$B$两组卡片,卡片上除数字外完全相同,$A$组有三张,分别标有数字1,2,$-3$。$B$组有两张,分别标有数字$-1$,2。小明闭眼从$A$组中随机抽出一张,记录其标有的数字为$x$,再从$B$组中随机抽出一张,记录其标有的数字为$y$,这样就确定点$P的一个坐标为(x,y)$。
(1)用列表或画树状图的方法写出点$P$的所有可能坐标；
(2)求点$P$落在第一象限的概率。

答案：

(1)画树状图为: 共有6种等可能的结果数，它们是(1,−1),(1,2),(2,−1),(2,2),(−3,−1),(−3,2);
(2)P点在第一象限的结果为2，所以点P落在第一象限的概率=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.

在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同。小明先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为$x$；放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为$y$。
(1)用列表法表示出$(x,y)$的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点$(x,y)落在反比例函数y= \frac{4}{x}$的图象上的概率；
(3)求小明、小华各取一次小球所确定的数$x$,$y满足y\lt\frac{4}{x}$的概率。

答案： 1. （1）列表如下：
| $x$ $y$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $1$ | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ |
| $2$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ |
| $3$ | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ |
| $4$ | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ |
所以$(x,y)$的所有可能出现的结果共有$16$种。
2. （2）
解：因为点$(x,y)$落在反比例函数$y = \frac{4}{x}$的图象上，所以$xy = 4$。
由（1）可知满足$xy = 4$的有$(1,4)$，$(2,2)$，$(4,1)$，共$3$种情况。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n = 16$是所有可能结果数，$m = 3$是满足条件的结果数），所以点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上的概率$P=\frac{3}{16}$。
3. （3）
解：因为$y\lt\frac{4}{x}$，即$xy\lt4$。
由（1）可知满足$xy\lt4$的有$(1,1)$，$(1,2)$，$(1,3)$，$(2,1)$，$(3,1)$，共$5$种情况。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n = 16$是所有可能结果数，$m = 5$是满足条件的结果数），所以$y\lt\frac{4}{x}$的概率$P=\frac{5}{16}$。
综上，（2）的概率为$\frac{3}{16}$；（3）的概率为$\frac{5}{16}$。