《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}+(2m - 1)x - 2 = 0$ 的根的判别式的值等于 $4$,则 $m=$$-\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$。

答案： $-\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$

10. 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^{m^{2}+1}+2x - 3 = 0$ 是一元二次方程。
(1)求 $m$ 的值；
(2)解该一元二次方程。

答案：
(1)
∵关于x的方程$(m-1)x^{m^{2}+1}+2x-3=0$是一元二次方程,
∴$\begin{cases}m-1\neq0\\m^{2}+1=2\end{cases}$,解得$m=-1$;
(2)方程为$-2x^{2}+2x-3=0$,
即$2x^{2}-2x+3=0$,
∵$a=2$,$b=-2$,$c=3$,
∴$b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×3=4-24=-20＜0$,
故原方程无解.

1. 已知：关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(m - 2)x - 2m = 0$。
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程有一根小于 $2$,求 $m$ 的取值范围。

答案：
(1)证明:
∵关于x的方程$x^{2}+(m-2)x-2m=0$,
∴$\Delta=b^{2}-4ac=(m-2)^{2}-4×1\cdot(-2m)=m^{2}+4m+4=(m+2)^{2}$,
∵$(m+2)^{2}\geq0$,
∴$\Delta\geq0$,
∴关于x的方程$x^{2}+(m-2)x-2m=0$总有实数根;
(2)解:由
(1)知,$\Delta=(m+2)^{2}$,
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-m\pm\sqrt{(m+2)^{2}}}{2}=\frac{2-m\pm(m+2)}{2}$,
∴$x_{1}=\frac{2-m+m+2}{2}$,$x_{2}=\frac{2-m-m-2}{2}=-m$,
∵方程有一根小于2,
∴$-m＜2$,
∴$m＞-2$,即m的取值范围为$m＞-2$.

2. 在等腰直角三角形 $ABC$ 中,$AB = BC = 8cm$,动点 $P$ 从 $A$ 出发,沿 $AB$ 向 $B$ 移动,通过点 $P$ 作 $PR// BC$,$PQ// AC$,交 $AC$,$BC$ 于 $R$,$Q$。问：
(1)$□ PQCR$ 的面积能否为 $7cm^{2}$？如果能,请求出此时 $P$ 点与 $A$ 点的距离；如果不能,请说明理由。
(2)$□ PQCR$ 的面积能为 $16cm^{2}$ 吗？能为 $20cm^{2}$ 吗？如果能,请求出此时 $P$ 点与 $A$ 点的距离；如果不能,请说明理由。

答案：
(1)面积能为$7\ cm^{2}$.
设$PA=x\ cm=PR$,则$PB=(8-x)\ cm$,即平行四边形高为PB,底为RP.
则$x(8-x)=7$,
解得$x_{1}=1$,$x_{2}=7$.
即P点到A点的距离为1cm或7cm.
(2)当$x(8-x)=16$时,
解得$x_{1}=x_{2}=4$.
则面积能为$16\ cm^{2}$,
即P点到A点的距离为4cm.
当$x(8-x)=20$时,
化为一般式为$x^{2}-8x+20=0$,
因为$a=1$,$b=-8$,$c=20$,
且$b^{2}-4ac＜0$,
所以面积不能为$20\ cm^{2}$.