《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

9. 求适合下列条件的角$\alpha$.
①$\cos\alpha=\frac{1}{2}$；
②$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③$2\sin\alpha-\sqrt{2}= 0$；
④$\sqrt{3}\tan\alpha - 1 = 0$；
⑤$\sin 2\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
⑥$6\cos(\alpha - 16^{\circ}) = 3\sqrt{3}$.

答案： ①α=60° ②α=30° ③α=45° ④α=30°⑤α=22.5° ⑥α=46°

10. 在$\triangle ABC$中,$\angle A,\angle B满足(\sqrt{3}\tan A - 3)^{2}+\vert2\cos B-\sqrt{3}\vert = 0$,试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 解:
∵$(\sqrt{3}\tan A-3)^2+|2\cos B-\sqrt{3}|=0$
∴$\tan A=\sqrt{3}$,$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠A=60°,∠B=30°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形.

11. 先化简,再求值.
$(\frac{2}{a + 1}+\frac{a + 2}{a^{2}-1})÷\frac{a}{a - 1}$,其中$a = 2\sin 60^{\circ}-\tan 45^{\circ}$.

答案： 解:原式=$\frac{2a-2+a+2}{(a+1)(a-1)}\cdot\frac{a-1}{a}=\frac{3a}{a(a+1)}=\frac{3}{a+1}$当$a=2\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1$时,原式=$\frac{3}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

1. 从热气球$C上测得两建筑物A,B底部的俯角分别为30^{\circ}和60^{\circ}$。如果这时气球的高度$CD为90$米,且点$A,D,B$在同一直线上,求：建筑物$A,B$间的距离.

答案： 解:由已知,得∠ECA=30°,∠FCB=60°,CD=90,EF//AB,CD⊥AB于点D,
∴∠A=∠ECA=30°,∠B=∠FCB=60°,在Rt△ACD中,∠CDA=90°,$\tan A=\frac{CD}{AD}$,
∴AD=$\frac{CD}{\tan A}=\frac{90}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=90×\frac{3}{\sqrt{3}}=90\sqrt{3}$(米),在Rt△BCD中,∠CDB=90°,$\tan B=\frac{CD}{BD}$,
∴DB=$\frac{CD}{\tan B}=\frac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3}$(米),
∴AB=AD+BD=$90\sqrt{3}+30\sqrt{3}=120\sqrt{3}$(米).建筑物A、B间的距离为$120\sqrt{3}$米.

2. 一艘轮船以每小时$20$海里的速度沿正北方向航行,在$A处测得灯塔C在北偏西30^{\circ}$方向,轮船航行$2小时后到达B$处,在$B处测得灯塔C在北偏西60^{\circ}$方向。当轮船到达灯塔$C的正东方向的D$处时,求此时轮船与灯塔$C$的距离。(结果保留根号)

答案： 解:由题意得,∠CAB=30°,∠CBD=60°,
∴∠ACB=30°,
∴∠BCA=∠CAB,
∴BC=AB=20×2=40(海里).
∵∠CDB=90°,
∴$\sin\angle CBD=\frac{CD}{BC}$,
∴$\sin60^{\circ}=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴CD=BC×$\frac{\sqrt{3}}{2}=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$(海里).
∴此时轮船与灯塔C的距离为$20\sqrt{3}$海里.