《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,过点 $ M(-3,2) $ 分别作 $ x $ 轴,$ y $ 轴的垂线与反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,则四边形 $ MAOB $ 的面积为10。

答案： 1. 首先，设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$：
因为点$A$在$y = \frac{4}{x}$上，且$AM\perp x$轴，$M(-3,2)$，所以$x_{1}=-3$，将$x = - 3$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_{1}=-\frac{4}{3}$。
因为点$B$在$y=\frac{4}{x}$上，且$BM\perp y$轴，$M(-3,2)$，所以$y_{2}=2$，将$y = 2$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x_{2}=2$。
2. 然后，根据矩形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为矩形的长和宽）和反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$中$\vert k\vert$的几何意义（$S_{\triangle}=\frac{1}{2}\vert k\vert$）：
过$M$作$x$轴垂线，$y$轴垂线，得到矩形，矩形$MCNO$（设$C$在$x$轴，$N$在$y$轴）的面积$S_{矩形MCNO}=\vert - 3\vert×2 = 6$。
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，$k = 4$，$\triangle AOC$的面积$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\vert y_{1}\vert×\vert x_{1}\vert$，把$x_{1}=-3$，$y_{1}=-\frac{4}{3}$代入，$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}×\vert - 3\vert×\vert-\frac{4}{3}\vert = 2$；$\triangle BON$的面积$S_{\triangle BON}=\frac{1}{2}\vert x_{2}\vert×\vert y_{2}\vert$，把$x_{2}=2$，$y_{2}=2$代入，$S_{\triangle BON}=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
四边形$MAOB$的面积$S=S_{矩形MCNO}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BON}$。
已知$S_{矩形MCNO}=6$，$S_{\triangle AOC}=2$，$S_{\triangle BON}=2$。
所以四边形$MAOB$的面积为$6 + 2+2=10$。
故答案为$10$。

2. 如图,已知点 $ P(4,2) $,过点 $ P $ 作 $ PM \perp x $ 轴于点 $ M $,$ PN \perp y $ 轴于点 $ N $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交 $ PM $ 于点 $ A $,交 $ PN $ 于点 $ B $。若四边形 $ OAPB $ 的面积为 $ 5 $,则 $ k = $3。

答案： 3

3. 如图,双曲线 $ y = -\frac{3}{4x}(x ＜ 0) $ 经过平行四边形 $ ABCO $ 的对角线交点 $ D $,已知边 $ OC $ 在 $ y $ 轴上,且 $ AC \perp AB $ 于点 $ C $,则平行四边形 $ ABCO $ 的面积是$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ M $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点,过点 $ M $ 的直线 $ l // y $ 轴,且直线 $ l $ 分别与反比例函数 $ y = \frac{8}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交于 $ P $,$ Q $ 两点,若 $ S_{\triangle POQ} = 13 $,则 $ k $ 的值为-18。

答案： -18

5. 两个反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 和 $ y = \frac{1}{x} $ 在第一象限内的图象如图所示,点 $ P $ 在 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,$ PC \perp x $ 轴于点 $ C $,交 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象于点 $ A $,$ PD \perp y $ 轴于点 $ D $,交 $ y = \frac{1}{x} $ 的图象于点 $ B $,当点 $ P $ 在 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上运动时,以下结论：① $ \triangle ODB $ 与 $ \triangle OCA $ 的面积相等；②四边形 $ PAOB $ 的面积不会发生变化；③ $ PA $ 与 $ PB $ 始终相等；④当点 $ A $ 是 $ PC $ 的中点时,点 $ B $ 一定是 $ PD $ 的中点。其中一定正确的是① ② ④。(填序号)

答案： ① ② ④

6. 如图,直线 $ y = 4 - x $ 与双曲线 $ y = \frac{3}{x} $ 交于 $ A $,$ B $ 两点,过 $ B $ 作直线 $ BC \perp y $ 轴,垂足为 $ C $,则点 $ A $ 到 $ BC $ 的距离是2。

答案： 2

7. 如图,一次函数 $ y_1 = (k - 5)x + b $ 的图象在第一象限与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象相交于 $ A $,$ B $ 两点,当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时,$ x $ 的取值范围是 $ 1 ＜ x ＜ 4 $,则 $ k = $4。

答案： 4

8. 反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 与一次函数 $ y = 2x + 1 $ 的图象的交点坐标为 $ (a,b) $,则 $ \frac{1}{2a} - \frac{1}{b} $ 的值是$\frac{1}{6}$。

答案： $\frac{1}{6}$

9. 如图,已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象交反比例函数 $ y = \frac{4 - 2m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点 $ A $,$ B $,交 $ x $ 轴于点 $ C $,点 $ A $ 的坐标是 $ (2,-4) $。
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 若 $ \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3} $,求一次函数的解析式及点 $ C $ 的坐标。

答案：
解:
(1) 将 A 的坐标代入反比例解析式,得$-4=\frac{4-2m}{2}$,解得$m=6$.
(2)过 A 作$AD\perp x$轴,过 B 作$BE\perp x$轴,
$\because \angle ADC=\angle BEC=90^{\circ},\angle ECB=\angle DCA$,
$\therefore \triangle ECB\backsim \triangle DCA$,
$\because \frac{BC}{AC}=\frac{EB}{AD}=\frac{BC}{BC+AB}=\frac{1}{4}$,
$\therefore AD=4BE$,又$A(2,-4)$,即$AD=4$,
$\therefore BE=1$,将$y=1$代入反比例解析式中,
得$-1=\frac{-8}{x}$,即$x=8$,$\therefore B(8,-1)$,
将$A(2,-4),B(8,-1)$代入一次函数解析式中得$\left\{\begin{array}{l} 2k+b=-4,\\ 8k+b=-1,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} k=\frac{1}{2},\\ b=-5,\end{array}\right. $则一次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x-5$,
令$y=0$,解得$x=10$,则$C(10,0)$.