《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$BC = 6$,$CD = 3$,将$\triangle BCD$沿对角线 $BD$ 翻折,点 $C$ 落在点 $C'$处,$BC'$交 $AD$ 于点 $E$,则线段 $DE$ 的长为(B)。

A.$3$
B.$\frac{15}{4}$
C.$5$
D.$\frac{15}{2}$

答案： B

2. 如图,菱形纸片 $ABCD$ 的对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$,折叠纸片使点 $A$ 与点 $O$ 重合,折痕为 $EF$,若 $AB = 5$,$BD = 8$,求$\triangle OEF$的面积。

答案： 解:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD,
BO=OD= $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×8=4$,
∴ ∠AOB=90°,
在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:
AO=3,
∵ 折叠纸片使点 A 与点 O 重合，折痕为
EF,AC⊥BD,
∴ EF 垂直平分 AO,F//BD,
∴ AE=BE,DF=AF,
AM=OM= $\frac{1}{2}$
AO= $\frac{3}{2}$,
∴ EF= $\frac{1}{2}$
BD= $\frac{1}{2}×8=4$,
∵ EF⊥AO,
∴ ∠OME=90°,
∴ △OEF 的面积为
$\frac{1}{2}× EF× OM=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$.

3. 如图,把正方形纸片 $ABCD$ 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为 $MN$,再过点 $B$ 折叠纸片,使点 $A$ 落在 $MN$ 上的点 $F$ 处,折痕为 $BE$。若 $AB$ 的长为 $2$,求 $FM$ 的长。

答案： 解:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,AB=2,过
点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点
F 处,
∴ FB=AB=2,BM=1,
则在 Rt△BMF 中,
FM²=BF²-BM²=2²-1²=3
∴ FM= $\sqrt{3}$.

4. 如图,正方形 $OABC$ 在平面直角坐标系中,点 $A$ 的坐标为$(2,0)$,将正方形 $OABC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$,得到正方形 $OA'B'C'$,则点 $C'$ 的坐标为(A)。

A.$(\sqrt{2},\sqrt{2})$
B.$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2},-\sqrt{2})$
D.$(2\sqrt{2},2\sqrt{2})$

答案： A

5. 如图,在菱形 $OABC$ 中,$OA = 2$,$\angle AOC = 60^{\circ}$,现将菱形 $OABC$ 绕点 $O$ 逆时针旋转,使点 $C$ 落在 $y$ 轴上,此时点 $B$ 的坐标为：($\sqrt{3}$,3)。

答案： ($\sqrt{3}$,3)