《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

7. 抛物线$y= -\frac{1}{3}x^2+bx+c经过点A(3\sqrt{3},0)和点B(0,3)$,且这个抛物线的对称轴为直线$l$,顶点为$C$。求抛物线的解析式。

答案： 解:
∵抛物线$y=-\frac{1}{3}x^{2}+bx+c$经过$A(3\sqrt{3},0)$、$B(0,3)$,
∴$\begin{cases}-9 + 3\sqrt{3}b + c = 0\\c = 3\end{cases}$由上两式解得$b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 3$.

1. 有这样一道题：“已知二次函数$y= ax^2+bx+c图象过P(1,-4)$,且有$c= -3a……求证这个二次函数的图象必过定点A(-1,0)$。”题中……“$$”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能,请求出；若不能,请说明理由。
(2)请你根据已有信息,在原题……“$$”处添上一个适当的条件,把原题补充完整。

答案：
(1)能求出二次函数解析式,依题意,得$\begin{cases}-4 = a + b + c\\c = -3a\\0 = a - b + c\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\\c = -3\end{cases}$,
∴$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)添加条件:对称轴为直线$x = 1$(答案不唯一).

2. 如图所示,已知抛物线$y= \frac{1}{3}x^2+bx+c经过点A(-1,0)$,$B(5,0)$。
(1)求抛物线的解析式并写出顶点$M$的坐标；
(2)若点$C$在抛物线上,且点$C的横坐标为8$,求四边形$AMBC$的面积。

答案：
(1)抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}+bx+c$经过点$A(-1,0)$,$B(5,0)$.
∴函数的表达式为:$y=\frac{1}{3}(x + 1)(x - 5)=\frac{1}{3}(x^{2}-4x - 5)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$,点$M(2,-3)$;
(2)当$x = 8$时,$y=\frac{1}{3}(x + 1)(x - 5)=9$,即点$C(8,9)$,因为$AB = 5 + 1 = 6$,且$\triangle ABM$、$\triangle ABC$的高分别是点$M$、点$C$纵坐标的绝对值,所以$S_{四边形AMBC}=S_{\triangle ABM}+S_{\triangle ABC}=\frac{6×|-3|}{2}+\frac{6×|9|}{2}=36$.