《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $CD$ 边上的一点,$F$ 为 $BC$ 延长线上一点,$CE = CF$.
(1)求证：$\triangle BEC\cong\triangle DFC$；
(2)若 $\angle BEC = 75°$,求 $\angle EFD$ 的度数.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴DC=BC,$\angle DCB=\angle FCE$,
∵CE=CF,
∴△DCF≌△BCE.
(2)解:
∵△BCE≌△DCF,
∴$\angle CFD=\angle BEC=75°$,
∵CE=CF,且$\angle DCF=90°$,
∴$\angle CFE=45°$,
∴$\angle EFD=\angle CFD-\angle CFE=75°-45°=30°$.

4. 如图,点 $E$,$F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $DC$,$BC$ 上,$AG\perp EF$,垂足为 $G$,且 $AG = AB$.求 $\angle EAF$ 的度数.

答案： 解:在 Rt△ABF 与 Rt△AGF 中,
∵AB=AG,AF=AF,$\angle B=\angle AGF$,
∴△ABF≌△AGF,
∴$\angle BAF=\angle GAF$.
同理△AGE≌△ADE,
有$\angle GAE=\angle DAE$;
即$\angle EAF=\angle EAG+\angle FAG=\frac{1}{2}\angle BAD=45°$,
故$\angle EAF=45°$.

1. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 为对角线 $AC$ 上一点,连接 $EB$,$ED$.
(1)求证：$\triangle BEC\cong\triangle DEC$；
(2)延长 $BE$ 交 $AD$ 于点 $F$,若 $\angle DEB = 140°$,求 $\angle AFE$ 的度数.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴CD=CB,$\angle DCA=\angle BCA$,
∵CE=CE,
∴△BEC≌△DEC.
(2)解:
∵$\angle DEB=140°$,
△BEC≌△DEC,
∴$\angle DEC=\angle BEC=70°$,
∴$\angle AEF=\angle BEC=70°$,
∵$\angle DAB=90°$,
∴$\angle DAC=\angle BAC=45°$,
∴$\angle AFE=180°-70°-45°=65°$.

2. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$P$ 为 $BC$ 上一点,$Q$ 为 $CD$ 上一点,且 $PQ = BP + DQ$,求 $\angle PAQ$ 的度数.

答案： 解:延长 CB 到点 E,使 BE=DQ,连接AE,
∵BE+BP=PQ,即 PE=PQ.
∵在△AEB和△ADQ 中,AD=AB,$\angle D=\angle ABE=90°$,BE=DQ,
∴△AEB≌△AQD.
∴AQ=AE,$\angle DAQ=\angle EAB$,
∵$\angle DAQ+\angle BAQ=90°$,
∴$\angle EAB+\angle BAQ=90°$,在△AEP 和△AQP中,AQ=AE,PE=PQ,AP=AP,
∴△AEP≌△AQP.
∴$\angle PAE=\angle QAP$,
又$\angle PAE+\angle PAQ=90°$,
∴$\angle PAQ=45°$.