《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 如图,梯形 $ABCD$ 中,$AD // BC$,对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$,若 $S_{\triangle ADO}:S_{\triangle BOC} = 1:4$,则 $S_{\triangle ADO}:S_{\triangle ACD}$ 等于(B)。

A.$1:6$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
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答案： B

5. 把菱形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 的方向移动到菱形 $A'B'C'D'$ 的位置,它们重叠部分(图中阴影部分) 的面积是菱形 $ABCD$ 面积的一半,若 $AC = \sqrt{2}$,则菱形移动的距离 $AA'$ 是(D)。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.1
D.$\sqrt{2} - 1$
]

答案： D

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$EF // BC$,$M$ 是 $BC$ 的中点,若 $\triangle AEF$ 的面积:梯形 $BCFE$ 的面积 $= 2:3$,且 $AM = 15$,则 $AN = $ $3\sqrt{10}$。
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答案： $3\sqrt{10}$

7. 已知两个相似三角形对应角平分线的比为 $4:5$,周长和为 $18\mathrm{cm}$,那么这两个三角形的周长分别是 8 cm、10 cm。

答案： 8 cm、10 cm

如图,四边形 $ABCD$ 为菱形,$M$ 为 $BC$ 上一点,连接 $AM$ 交对角线 $BD$ 于点 $G$,并且 $\angle ABM = 2\angle BAM$。
(1) 求证：$AG = BG$；
(2) 若点 $M$ 为 $BC$ 的中点,同时 $S_{\triangle BMG} = 1$,求三角形 $ADG$ 的面积。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABM=2∠BAM,
∴∠ABD=∠BAM,
∴AG=BG.
(2)解:
∵AD//BC,
∴△ADG∽△MBG,
∴$\frac{AG}{GM}=\frac{AD}{BM}$,
∵点M为BC的中点,
∴$\frac{AD}{BM}=2$,
∴$\frac{S_{\triangle ADG}}{S_{\triangle BMG}}=\left(\frac{AD}{BM}\right)^2=4$,
∵$S_{\triangle BMG}=1$,
∴$S_{\triangle ADG}=4$.