《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 两个相似三角形的对应高之比为 $1:3$,那么它们对应中线的比为(B)。
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:8$

答案： B

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D是边AB$上的一点,$\angle ADC= \angle ACB$,$AD = 2$,$BD = 6$,则边$AC$的长为(B)。

A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
]

答案： B

3. $\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的相似比是 $1:3$,若 $BC = 5\mathrm{cm}$,则 $B'C'= $15 cm。

答案： 1. 首先明确相似三角形的性质：
相似三角形对应边成比例。若$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比$k = \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
已知相似比$k=\frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{3}$。
2. 然后进行计算：
因为$\frac{BC}{B'C'}=\frac{1}{3}$，且$BC = 5\mathrm{cm}$，设$B'C'=x\mathrm{cm}$，则$\frac{5}{x}=\frac{1}{3}$。
根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，可得$x = 5×3$。
所以$B'C'=15\mathrm{cm}$。

4. $\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的相似比为 $3:4$,若 $BC$边上的高 $AD = 12\mathrm{cm}$,则 $B'C'$边上的高 $A'D'= $16 cm。

答案： 16 cm

5. 若 $\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$,$AD$、$A'D'分别是\triangle ABC$、$\triangle A'B'C'$的高,$AD:A'D' = 3:4$,$\triangle A'B'C'$的一条中线 $B'E' = 16\mathrm{cm}$,则$\triangle ABC$的中线 $BE= $12 cm。

答案： 12 cm

6. 如图,$AD$、$BE是\triangle ABC$的高,$A'D'$、$B'E'是\triangle A'B'C'$的高,$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$,$\angle C= \angle C'$。求证：$\frac{AD}{A'D'}= \frac{BE}{B'E'}$。
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答案： 证明:
∵△ABD∽△A'B'D',
∴∠ABC=∠A'B'C',∠BAC=∠B'A'C',
∵AD是△ABC的高,A'D'是△A'B'C'的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$,同理可求△ABE∽△A'B'E',
∴$\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}$,
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$.

7. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 5\mathrm{cm}$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,动点$M从点B$出发,在$BA$边上以每秒 $2\mathrm{cm}的速度向点A$匀速运动,同时动点$N从点C$出发,在$CB边上以每秒\sqrt{3}\mathrm{cm}的速度向点B$匀速运动,设运动时间为$t秒(0\leq t\leq5)$,连接$MN$。
(1)若 $BM = BN$,求 $t$的值；
(2)若$\triangle MBN与\triangle ABC$相似,求 $t$的值。
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答案： 解：
(1)
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,
∴∠B=30°,AB=2AC=10 cm,BC=5$\sqrt{3}$ cm.由题意知BM=2t,CN=$\sqrt{3}$t,
∴BN=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t,
∵BM=BN,
∴2t=5$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t.解得t=10$\sqrt{3}$-15.
(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时,则$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BC}$,即$\frac{2t}{10}=\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$,解得t=$\frac{5}{2}$.②当△NBM∽△ABC时,则$\frac{BN}{AB}=\frac{BM}{BC}$,即$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}=\frac{2t}{5\sqrt{3}}$,解得t=$\frac{15}{7}$.综上所述：当t=$\frac{5}{2}$或t=$\frac{15}{7}$时,△MBN与△ABC相似.