《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

8. 已知关于$x的方程x^2-(k + 1)x+\frac{1}{4}k^2 + 1 = 0$的两根是一个矩形两邻边的长。
(1)$k$取何值时,方程有两个实数根？
(2)当矩形的对角线长为$\sqrt{5}$时,求$k$的值。

答案： 解:
(1)$\Delta =(k+1)^{2}-4(\frac {k^{2}}{4}+1)=2k-3.$
∵方程有两个实数根,
$\therefore \Delta \geq 0$,即$2k-3\geq 0,$
$\therefore k\geq \frac {3}{2}.$
∴当$k\geq \frac {3}{2}$时,方程有两个实数根.
(2)设方程的两根为$x_{1},x_{2},$
由题意得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=k+1,\\ x_{1}x_{2}=\frac {1}{4}k^{2}+1,\end{array}\right. $
由题意知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5,$
$\therefore (k+1)^{2}-2(\frac {1}{4}k^{2}+1)=5,$
整理得$k^{2}+4k-12=0,$
解得$k=2$或$k=-6$(舍去),
∴k的值为2.

1. 如图,东西方向上有$A,C两地相距10\mathrm{km}$,甲以$16\mathrm{km/h}的速度从A$地出发向正东方向前进,乙以$12\mathrm{km/h}的速度从C$地向正南方向前进,问最快经过多少时间,甲、乙两人相距$6\mathrm{km}$？

答案： 解:设经过t h,两人相距6 km,根据勾股定理得$(10-16t)^{2}+(12t)^{2}=6^{2},$
解得$t=0.4.$
故最快经过0.4 h,甲、乙两人相距6 km.

2. 如图,要建一个面积为$150\mathrm{m}^2$的长方形养鸡场,为了节约材料,养鸡场的一边靠着原有的一面墙,墙长为$a\mathrm{m}$,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为$35\mathrm{m}$。
(1)求养鸡场的长与宽各为多少米；
(2)题中的墙长度$a\mathrm{m}$对题目的解起着怎样的作用？

答案： 解:
(1)设养鸡场的宽为x m,则长为$(35-2x)m.$
依题意列方程为$x(35-2x)=150.$
整理,得$2x^{2}-35x+150=0.$
解方程,得$x_{1}=10,x_{2}=7.5.$
所以当$x=10$时,$35-2x=15;$
当$x=7.5$时,$35-2x=20.$
故当养鸡场的宽为10 m时,长为15 m;当养鸡场的宽为7.5 m时,长为20 m.
(2)当$a＜15$时,问题无解;
当$15\leq a＜20$时,问题有一解,即宽为10m,长为15 m;
当$a\geq 20$时,问题有两解,即宽为10 m,长为15 m或宽为7.5 m,长为20 m.

3. 如图,一块长方形绿地长$100\mathrm{m}$、宽$50\mathrm{m}$,在绿地中开辟两条道路后,绿地面积缩小到原来的$88.32\%$,求$x$。

答案： 解:由题意,得$(100-x)(50-x)=100×50×88.32\% $
整理,得$(x-146)(x-4)=0.$
解得$x_{1}=146$(舍去),$x_{2}=4.$
即x的值是4.