《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,顶点 $A(-1,0)$,$C(1,2)$,点 $F$ 是 $BC$ 的中点,$CD$ 与 $y$ 轴交于点 $E$,$AF$ 与 $BE$ 交于点 $G$。将正方形 $ABCD$ 绕点 $O$ 顺时针旋转,每次旋转 $90^{\circ}$,则第 $99$ 次旋转结束时,点 $G$ 的坐标为(B)。

A.$(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$
B.$(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
C.$(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$
D.$(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$

答案： B

7. 已知：如图,在正方形 $ABCD$ 中,$G$ 是 $CD$ 上一点,延长 $BC$ 到 $E$,使 $CE = CG$,连接 $BG$ 并延长交 $DE$ 于 $F$。
(1)求证：$\triangle BCG \cong \triangle DCE$；
(2)将$\triangle DCE$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到$\triangle DAE'$,判断四边形 $E'BGD$ 是什么特殊四边形,并说明理由。

答案：
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC=CD,∠BCD=90°.
∵ ∠BCD+∠DCE=180°,
∴ ∠BCD=∠DCE=90°.
又
∵ CG=CE,
∴ △BCG≌△DCE.
(2)解:四边形 E'BGD 是平行四边形.理由
如下:
∵ △DCE 绕 D 顺时针旋转 90°得到△DAE',
∴ CE=AE'.
∵ CE=CG,
∴ CG=AE'.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BE'//DG,AB=CD.
∴ AB-AE'=CD-CG.
即 BE'=DG.
∴ 四边形 E'BGD 是平行四边形.

8. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AB = 2$,$\angle BAD = 60^{\circ}$,$E$ 是 $AB$ 的中点,$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点,则 $PE + PB$ 的最小值是$\sqrt{3}$。

答案： $\sqrt{3}$

9. 如图 ②,将两张长为 $8$、宽为 $2$ 的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值 $8$,那么菱形周长的最大值是17。

答案： 17

10. 如图,正方形 $ABCD$ 的面积为 $12$,$\triangle ABE$ 是等边三角形,点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内,在对角线 $AC$ 上有一点 $P$,使 $PD + PE$ 最小,则这个最小值为2$\sqrt{3}$。

答案： 2$\sqrt{3}$

11. 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$,两条对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$,$P$ 是射线 $AB$ 上任意一点,过 $P$ 点分别作直线 $AC$、$BD$ 的垂线 $PE$,$PF$,垂足为 $E$,$F$。
(1)如图 ①,当 $P$ 点在线段 $AB$ 上时,求 $PE + PF$ 的值。
(2)如图 ②,当 $P$ 点在线段 $AB$ 的延长线上时,求 $PE - PF$ 的值。

答案： 解:
(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC⊥BD,
∵ PF⊥BD,
∴ PF//AC,同理 PE//BD,
∴ 四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.
又
∵ ∠PBF=∠BPF=45°,
∴ PF=BF,
∴ PE+PF=OF+FB=OB=acos45°= $\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC⊥BD,
∵ PF⊥BF,
∴ PF//AC.同理 PE//BD,
∴ 四边形 PFOE 为矩形,故 PE=OF.
又
∵ ∠PBF=∠OBA=45°,
∴ PF=BF.
又
∵ BC=a,
∴ PE-PF=OF-BF=OB=BCcos45°=acos45°
= $\frac{\sqrt{2}}{2}a$.