《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

11. 工人师傅用一块长为 $ 10 \, dm $、宽为 $ 6 \, dm $ 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为 $ 12 \, dm^2 $ 时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为 $ 0.5 $ 元,底面每平方分米的费用为 $ 2 $ 元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?

答案：
11.解:
(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为$xdm$，由题意可得$(10 - 2x)(6 - 2x)=12$，即$x^{2}-8x + 12 = 0$，解得$x = 2$或$x = 6$(舍去)，答:裁掉的正方形的边长为$2dm$，底面积为$12dm^{2}$.
(2)$\because$长不大于宽的五倍，$\therefore 10 - 2x\leq5(6 - 2x)$，解得$0 ＜ x\leq2.5$，设总费用为$w$元，由题意可知$w = 0.5×2x(16 - 4x)+2(10 - 2x)(6 - 2x)=4x^{2}-48x + 120 = 4(x - 6)^{2}-24$，$\because$对称轴为$x = 6$，开口向上，$\therefore$当$0 ＜ x\leq2.5$时，$w$随$x$的增大而减小，$\therefore$当$x = 2.5$时，$w$有最小值，最小值为$25$元，答:当裁掉边长为$2.5dm$的正方形时，总费用最低，最低费用为$25$元.

12. 有一块形状如图的五边形余料 $ ABCDE $, $ AB = AE = 6 $, $ BC = 5 $, $ \angle A = \angle B = 90° $, $ \angle C = 135° $, $ \angle E ＞ 90° $,要在这块余料中截取一块矩形材料,其中一条边在 $ AE $ 上,并使所截矩形材料的面积尽可能大.
(1)若所截矩形材料的一条边是 $ BC $ 或 $ AE $,求矩形材料的面积;
(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料? 如果能,求出这些矩形材料面积的最大值;如果不能,说明理由.

答案：
12.解:
(1)①若所截矩形材料的一条边是$BC$，如图$1$所示:过点$C$作$CF⊥AE$于$F$，$S_{1}=AB\cdot BC = 6×5 = 30$；②若所截矩形材料的一条边是$AE$，如图$2$所示:过点$E$作$EF// AB$交$CD$于$F$，作$FG⊥AB$于$G$，过点$C$作$CH⊥FG$于$H$，则四边形$AEFG$为矩形，四边形$BCHG$为矩形，$\because\angle C = 135^{\circ}$，$\therefore\angle FCH = 45^{\circ}$，$\therefore\triangle CHF$为等腰直角三角形，$\therefore AE = FG = 6$，$HG = BC = 5$，$BG = CH = FH$，$\therefore BG = CH = FH = FG - HG = 6 - 5 = 1$，$\therefore AG = AB - BG = 6 - 1 = 5$，$\therefore S_{2}=AE\cdot AG = 6×5 = 30$.
(2)能，理由如下:在$CD$上取点$F$，过点$F$作$FM⊥AB$于$M$，$FN⊥AE$于$N$，过点$C$作$CG⊥FM$于$G$，则四边形$ANFM$为矩形，四边形$BCGM$为矩形，$\because\angle C = 135^{\circ}$，$\therefore\angle FCG = 45^{\circ}$，$\therefore\triangle CGF$为等腰直角三角形，$MG = BC = 5$，$BM = CG$，$FG = CG$，设$AM = x$，则$BM = 6 - x$，$\therefore FM = GM + FG = GM + CG = BC + BM = 11 - x$，$\therefore S = AM×FM = x(11 - x)= -x^{2}+11x = -(x - 5.5)^{2}+30.25$，$\therefore$当$x = 5.5$时，$S$的最大值为$30.25$.