《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 在$\triangle ABC$中,$AB = 8$,$AC = 6$,点$D在AC$上,$AD = 2$,若要在$AB上找一点E$,使$\triangle ADE与\triangle ABC$相似,则$AE= $$\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{8}{3}$或$\frac{3}{2}$

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,若$AD = 6$,$BD = 2$,则$BC= $4。
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答案： 4

6. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在AB$上,$DE// BC交AC于点E$,点$F在AD$上,$AD^{2}= AF\cdot AB$。求证：$\triangle AEF\backsim\triangle ACD$。
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答案： 证明：
∵$AD^2=AF\cdot AB$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}$. 又$DE// BC$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ACD.

7. 已知正方形$ABCD$中,$P是BC$边上的点,$BP = 3PC$,$Q是CD$的中点。求证：$\triangle ADQ\backsim\triangle AQP$。
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答案： 证明：设正方形ABCD的边长为4，则AD=4，DQ=2，AQ=$2\sqrt{5}$，BP=3，AP=5，PQ=$\sqrt{5}$.
∴$\frac{AD}{AQ}=\frac{DQ}{PQ}=\frac{AQ}{AP}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴△ADQ∽△AQP.

如图,已知直线$l的函数表达式为y = -\frac{4}{3}x + 8$,且$l与x$轴,$y轴分别交于A$,$B$两点,动点$Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A$移动,同时动点$P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O$移动。当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,设点$Q$,$P移动的时间为t$秒。
(1)求点$A$,$B$的坐标；
(2)当$t$为何值时,以$A$,$P$,$Q为顶点的三角形与\triangle AOB$相似？
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答案： 解：
(1)$y=-\frac{4}{3}x+8$中，当x=0时，y=8；当y=0时，x=6. 故点A的坐标为(6,0)，点B的坐标为(0,8).
(2)在△AOB中，∠AOB=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理，得AB=10. 由题意易知BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t. 在△AOB和△AQP中，∠BAO=∠PAQ. 第一种情况：若$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AO}$，则△APQ∽△AOB，即$\frac{10-2t}{10}=\frac{t}{6}$，解得$t=\frac{30}{11}$；第二种情况：若$\frac{AQ}{AO}=\frac{AP}{AB}$，则△AQP∽△AOB，即$\frac{10-2t}{6}=\frac{t}{10}$，解得$t=\frac{50}{13}$. 故当t的值为$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似.