《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 已知如图所示的两个四边形相似,求出未知的$x$,$y$,$z的长和∠α$的度数。

答案： 解:
∵如图两个四边形相似，
∴$\frac{x}{2}=\frac{4.8}{3.2}=\frac{z}{4}=\frac{4.5}{y}$，
　解得$x=3,y=3,z=6$.
　$\angle\alpha=360^{\circ}-120^{\circ}-60^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.

1. 试判断如图所示的两个矩形是否相似。

答案： 解:这两个矩形的角是直角，因而对应角一定相等，
　小矩形的长是40−10−10=20，宽是20−5−5=10,
　因为$\frac{20}{40}=\frac{10}{20}$，即两个矩形的对应边的比相等，
　因而这两个矩形相似.

2. 如图,四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$E$,$F分别为AB$,$CD$上一点,且四边形$AEFD\backsim四边形EBCF$,若$AD = 4$,$BC = 9$。试求$AE:EB$的值。

答案： 解:过A作AG//CD，交BC于点G,交EF于点H.
∵四边形AEFD∽四边形EBCF,
∴$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$，$\angle DFE=\angle FCB$，
即$\frac{4}{EF}=\frac{EF}{9}$，
∴EF=6.
∵$\angle DFE=\angle FCB$，
∴$EF// BC$.
∵$AD// BC$，
∴$AD// EF// BC$.
又
∵$AG// CD$，
∴四边形ADFH与四边形HFCG都是平行四边形.
∴$AD=HF=GC=4$，
∴$EH=EF−HF=6−4=2$，
$BG=BC−GC=9−4=5$.
∵$EH// BG$，
∴$AE:AB=EH:BG=2:5$，
∴$AE:EB=2:3$.