《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 有四张质地相同并标有数字 0,1,2,3 的卡片,将卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上,第一次任意抽取一张(不放回),第二次再抽取一张,用列表法或画树状图法求两次所抽卡片上的数字恰好是方程 $x^{2}-5x + 6 = 0$ 的两根的概率.

答案：
解:抽出两张卡片的树状图如下:
　
共有12种机会均等的结果，又由于$x^{2}-5x+6=0$的两根为$x_{1}=2,x_{2}=3$，则符合要求的结果有2种，
所以P(两次所抽卡片上数字恰好是方程$x^{2}-5x+6=0$的根)$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.

2. 在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的 7 个小球,其中红球 2 个,黑球 5 个, 若再放入 $m$ 个一样的黑球并摇匀,此时,随机摸出一个球是黑球的概率等于 $\frac{4}{5}$,求 $m$.

答案： 解：
根据概率公式$P(A)=\frac{k}{n}$（$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$k$表示事件$A$发生的次数，$n$表示所有可能发生的次数）。
原来袋子里有$7$个球，其中黑球$5$个，放入$m$个黑球后，球的总数变为$7 + m$个，黑球的个数变为$5 + m$个。
已知随机摸出一个球是黑球的概率等于$\frac{4}{5}$，则可列方程：
$\frac{5 + m}{7 + m}=\frac{4}{5}$
交叉相乘得：
$5(5 + m)=4(7 + m)$
去括号：
$25+5m = 28+4m$
移项：
$5m-4m=28 - 25$
解得：
$m = 3$
所以$m$的值为$3$。

3. 甲、乙两人都握有分别标记为 A,B,C 的三张牌,两人做游戏,游戏规则是:若两人出的牌不同,则 A 胜 B,B 胜 C,C 胜 A,若两人出的牌相同,则视为平局.
(1)用树状图或列表法,列出甲、乙两人一次游戏的所有可能结果;
(2)求出现平局的概率;
(3)游戏对甲乙是否公平?

答案：
解:
(1)画树状图如下:
　
(2)共有9种等可能的结果，平局的结果有3种，$\therefore$P(平局)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(3)甲胜的结果有3种，P(甲胜)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，乙胜的结果有3种，P(乙胜)$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∴游戏对甲、乙是公平的.

4. 在一个不透明的袋子中装有分别标有数字 1,2,3,4 的四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次试验前先摇匀.
(1)若从中任取一球,球上的数字为偶数的概率是多少?
(2)若从中任取一球(不放回),再从中任取一球,请用树状图或列表的方法,求出两个球上数字之和为偶数的概率;
(3)若设计一种游戏方案:从中任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为 1 时甲胜,否则乙胜,请问这种游戏对甲、乙双方是否公平?

答案：
解:
(1)P(球上数字为偶数)$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2)树状图如下:
　
共有12种可能的结果，其中数字之和为偶数的情况有4种，
$\therefore$P(数字之和为偶数)$=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(3)两数之差的绝对值为1有6种情况，P(甲胜)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，P(乙胜)$=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴这种游戏方案对甲、乙双方是公平的.

5. 在中考实验操作考试结束后,我校某班随机抽取了一个小组的物理实验操作考试成绩进行了统计,结果如下:

(1)本次成绩的平均分为9.4,中位数为9.5,众数为10.
(2)朱朝阳计算了本组数据的方差,算法如下:
$S^{2}= \frac{1}{n}[(8 - m)^{2}+(9 - m)^{2}×4+(10 - m)^{2}×5]$
其中 $n = $10;$m = $9.4;$S^{2}= $0.44.
(3)现准备从得分为 9 分的 4 名同学中抽取两名同学谈失分感悟,请用列表法或树状图求出选取的两名同学均为女生的概率.
选取的两名同学均为女生的概率为$\frac{1}{2}$.

答案：
(1)9.4,9.5,10;
(2)10,9.4,0.44;
(3)选取的两名同学均为女生的概率为$\frac{1}{2}$.
(1)平均分$\overline{x}=\frac{8+9×(3+1)+10×(3+2)}{1+1+3+3+2}=9.4$；中位数：从小到大排序为8,9,9,9,9,10,10,10,10,10，取第五、第六个数的平均数为$\frac{9+10}{2}=9.5$；众数：10.
(2)由方差定义：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，可得$n=1+1+3+3+2=10$，$m=9.4$，
$S^{2}=\frac{1}{10}[(8 - 9.4)^{2}+(9 - 9.4)^{2}×4+(10 - 9.4)^{2}×5]=\frac{1}{10}×4.4=0.44$.
(3)共有12种情况，其中两名同学均为女生的情况有6种，选取的两名同学均为女生的概率为$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.