《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是AB$上一点,且$AC^{2}= AD\cdot AB$,则(A)。

A.$\triangle ADC\backsim\triangle ACB$
B.$\triangle BDC\backsim\triangle BCA$
C.$\triangle ADC\backsim\triangle CDB$
D.无相似三角形

答案： A

4. 如图,$AC$,$BD相交于点O$,要使$\triangle AOB\backsim\triangle DOC$,则要补充的条件可以是$\angle B=\angle C$或$\angle A=\angle D$或$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$。
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答案： $\angle B=\angle C$或$\angle A=\angle D$或$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$
(答案不唯一)

5. 如图,已知$P是边长为5的正方形ABCD内一点且PB = 3$,$BF\perp BP于点B$,若在射线$BF上找一点M使得以点B$,$M$,$C为顶点的三角形与\triangle ABP$相似,则$BM$的值为3或$\frac{25}{3}$。
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答案： 3或$\frac{25}{3}$

6. 如图,在$4× 4$的方格纸中,每个方格边长为$1$,$\triangle ABC和\triangle DEF$都是格点三角形。
(1)填空：$\angle ABC = $135$^{\circ}$,$BC = $$2\sqrt{2}$；
(2)判断$\triangle ABC与\triangle DEF$是否相似。
$\triangle ABC\backsim \triangle DEF$

答案： 1. （1）
求$\angle ABC$的度数和$BC$的长度：
对于$\angle ABC$：
观察图形，$\triangle ABC$中，$AB = 2$，$BD = 2$（$D$为$AB$下方与$B$水平距离为$2$，垂直距离为$2$的格点），$AD=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16 + 4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=4 + 8 = 12$，$AC^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=20$，这种方法不好。换一种方法，$\angle ABC = 135^{\circ}$（通过观察方格纸，$\angle ABC$是一个$90^{\circ}$角与一个$45^{\circ}$角的外角，$\angle ABC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$）。
对于$BC$：
根据勾股定理$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}}$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = b = 2$），所以$BC=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. （2）判断$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是否相似：
解：
计算$\triangle DEF$中，$\angle DEF = 135^{\circ}$（同理$\angle DEF$是一个$90^{\circ}$角与一个$45^{\circ}$角的外角），$DE=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$EF = 2$。
计算$\triangle ABC$与$\triangle DEF$对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
又因为$\angle ABC=\angle DEF = 135^{\circ}$。
根据相似三角形判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
故答案为：（1）$135$，$2\sqrt{2}$；（2）$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。

7. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC = 12$,$BC = 8$,且$BD = 3$,$CE = 2$。求证：$\triangle ABD\backsim\triangle BCE$。
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答案： 证明 $\because AB=AC,\therefore \angle ABC=\angle C$.
$\because \frac{AB}{BD}=\frac{12}{3}=4,\frac{BC}{CE}=\frac{8}{2}=4$,
$\therefore \triangle ABD\backsim \triangle BCE$.

8. 如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 7$,$AD = 2$,$BC = 3$,试在腰$AB上确定点P$的位置,使得以$P$,$A$,$D为顶点的三角形与以P$,$B$,$C$为顶点的三角形相似。

答案： 解:点 P 的位置有三处,即在线段 AB 上与
点 A 距离1、$\frac{14}{5}$、6处.

如图,在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,动点$D从点A出发沿射线AC方向以每秒2$个单位的速度运动,点$E是边BC$的中点,连接$DE$。设点$D运动的时间为t$秒。求当$t$取何值时,$\triangle ABC与\triangle CDE$相似？写出所有的情况。

答案： 解:$\because$ 点 E 是边 BC 的中点,
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=2$.
①当 D 点在 BC 的左边时,
$\triangle CAB$与$\triangle CDE$相似，则$\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}$,即
$\frac{3}{3-2t}=\frac{4}{2}$,解得$t=\frac{3}{4}$;
$\triangle CAB$与$\triangle CED$相似,则$\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$,即$\frac{3}{2}$
$=\frac{4}{3-2t}$,解得$t=\frac{1}{6}$;
②当D点在BC的右边时,
$\triangle CAB$与$\triangle CDE$相似，则$\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}$,即
$\frac{3}{2t-3}=\frac{4}{2}$,解得$t=\frac{9}{4}$;
$\triangle CAB$与$\triangle CED$相似,则$\frac{CA}{CE}=\frac{CB}{CD}$,即$\frac{3}{2}$
$=\frac{4}{2t-3}$,解得$t=\frac{17}{6}$.
故当t取$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{6}$或$\frac{9}{4}$或$\frac{17}{6}$时,$\triangle ABC$与
$\triangle CDE$相似.