《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 二次函数 $ y = 3x^{2}-3 $ 的图象是抛物线,开口向上,顶点坐标为$(0,-3)$,对称轴是y轴,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。因为 $ a = 3 ＞ 0 $,所以 $ y $ 有最小值,当 $ x = $0时,$ y $ 的最小值是-3。

答案： 抛物线;上;$(0,-3)$;y轴;增大;减小;小;0;小;-3

2. 抛物线 $ y = 3x^{2}-2 $ 的图象可由抛物线 $ y = 3x^{2} $ 的图象向下平移2个单位得到,它的顶点坐标是$(0,-2)$,对称轴是y轴。

答案： 下;2;$(0,-2)$;y轴

3. 关于 $ y = \frac{1}{3}x^{2}, y = x^{2}, y = 3x^{2} $ 的图象,下列说法中不正确的是(C)。
A.顶点相同
B.对称轴相同
C.图象形状相同
D.最低点相同

答案： C

4. 抛物线 $ y = x^{2} $ 上的点 $ A,B $ 的横坐标分别是$-1,2$,则 $ A,B $ 两点所在的直线为(D)。
A.$ y = 2x^{2}+2 $
B.$ y = x + 4 $
C.$ y = -x + 2 $
D.$ y = x + 2 $

答案： D

5. 下列各图象中有可能是函数 $ y = ax^{2}+a(a \neq 0) $ 的图象的是(B)。

答案： B

1. 在同一坐标系中,图象与 $ y = 2x^{2} $ 的图象关于 $ x $ 轴对称的是(C)。
A.$ y = \frac{1}{2}x^{2} $
B.$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $
C.$ y = -2x^{2} $
D.$ y = -x^{2} $

答案： C

2. 下列二次函数的图象,开口最大的是(A)。
A.$ y = \frac{1}{4}x^{2} $
B.$ y = 4x^{2} $
C.$ y = -2x^{2} $
D.$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $

答案： A

3. 当 $ m = $-2时,抛物线 $ y = (m + 1)x^{m^{2}+m}+9 $ 开口向下,对称轴是y轴。在对称轴左侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；在对称轴右侧,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： -2;y轴;增大;减小

4. 已知函数 $ y = ax^{2}+k(a \neq 0) $ 的图象上有三点 $ A(-3,y_{1}),B(1,y_{2}),C(2,y_{3}) $,且 $ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $,则 $ a $ 的取值范围是(A)。
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $
C.$ a \geq 0 $
D.$ a \leq 0 $

答案： A

5. 已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 $ y $ 轴,且经过点$(-1,-2)$,则抛物线的表达式为$y=-2x^{2}$。

答案： $y=-2x^{2}$

6. 函数 $ y = \frac{k}{x} $ 与 $ y = -kx^{2}+k(k \neq 0) $ 在同一直角坐标系中的图象可能是(B)。

答案： B

直线 $ l $ 经过 $ A(3,0),B(0,3) $ 两点,且与二次函数 $ y = x^{2}+1 $ 的图象在第一象限内交于点 $ C $。求：
(1)$ \triangle AOC $ 的面积；
(2)二次函数图象顶点与点 $ A,B $ 组成的三角形的面积。

答案： 解:
(1)设直线AB的解析式为$y=kx+b$,把$A(3,0),B(0,3)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} 3k+b=0,\\ b=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1,\\ b=3,\end{array}\right. $
∴直线AB:$y=-x+3$,解方程组$\left\{\begin{array}{l} y=x^{2}+1,\\ y=-x+3,\end{array}\right. $得$C(1,2)$,
∴$△AOC$的面积为$\frac {1}{2}×3×2=3.$
(2)由顶点坐标公式得$D(0,1),S_{△ABD}=\frac {1}{2}×3×2=3.$