《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 如图$,\triangle OPQ$在边长为1个单位的方格纸中,它们的顶点在小正方形顶点位置,点A,B,C,D,E也是小正方形的顶点,从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形与$\triangle OPQ$相似,那么这个三角形是$\triangle CDB$。

答案： $\triangle CDB$

5. 在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(2,-2)$,$B(0,-2)$,在坐标平面中确定点$P$,使$\triangle AOP与\triangle AOB$相似,则符合条件的点$P$共有5个。

答案： 5

6. 要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边的长分别为$4$,$5$,$6$,另一个三角形框架的一边长为$2$,怎样选料可使这两个三角形相似？

答案： 解:另两边长为$2.5,3$或$\frac{5}{3},\frac{4}{3}$或$\frac{12}{5},\frac{8}{5}$.

如图,在边长为$1$的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在格点上,$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5是\triangle DEF边上的5$个格点,请按要求完成下列各题：
(1)证明：$\triangle ABC$为直角三角形；
(2)判断$\triangle ABC和\triangle DEF$是否相似,并说明理由；
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为$P_1$,$P_2$,$P_3$,$P_4$,$P_5中的3个格点并且与\triangle ABC$相似(要求：不写作法与证明)。
]

答案： 解:
(1) 证明:$\because AB^{2}=20,AC^{2}=5,BC^{2}=25$,
$\therefore AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.
(2)$\triangle ABC$和$\triangle DEF$相似.理由如下:
由
(1)中数据得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,
$BC=5$.由图形易得$DE=4\sqrt{2}$,
$DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$,
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$,
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle DEF$.
(3)如图,连接$P_{2}P_{5},P_{2}P_{4},P_{4}P_{5}$.
$\because P_{2}P_{5}=\sqrt{10}$,$P_{2}P_{4}=\sqrt{2}$,$P_{4}P_{5}=2\sqrt{2}$,
$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,
$\therefore \frac{P_{2}P_{5}}{BC}=\frac{P_{4}P_{5}}{AB}=\frac{P_{2}P_{4}}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle P_{4}P_{5}P_{2}$.