《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ (-1,10) $,则 $ a - b + c = $10.

答案： 10

2. 已知二次函数的图象顶点是 $ (-1,2) $,且经过 $ (1,-3) $,那么这个二次函数的解析式是$y=-\dfrac{5}{4}(x+1)^{2}+2$.

答案： $y=-\dfrac{5}{4}(x+1)^{2}+2$

3. 将抛物线 $ y = x^2 - 2x $ 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位得到的抛物线是$y=(x-5)^{2}+2$.

答案： $y=(x-5)^{2}+2$

4. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $,$ x = -2 $ 时,$ y = -6 $；$ x = 2 $ 时,$ y = 10 $；$ x = 3 $ 时,$ y = 24 $,求此函数的解析式.

答案： 解：将$(-2,-6),(2,10),(3,24)$代入$y=ax^{2}+bx+c$,得
$\begin{cases} 4a-2b+c=-6, \\4a+2b+c=10,\\9a+3b+c=24, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=2, \\b=4,\\c=-6. \end{cases}$
故这个二次函数解析式为$y=2x^{2}+4x-6$.

5. 已知二次函数的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $ 和 $ (0,6) $,求此函数的解析式.

答案： 解:设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$,
则$a(0+1)(0-3)=6$,
解得$a=-2$,
所以,$y=-2(x+1)(x-3)=-2x^{2}+4x+6$.

1. 已知二次函数 $ y = x^2 + px + q $ 的图象的顶点是 $ (5,-2) $,则 $ p = $$-10$,$ q = $$23$.

答案： $-10;23$

2. 把二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + \frac{5}{2} $ 的图象向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,则所得二次函数的表达式是$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}+1$.

答案： $y=\dfrac{1}{2}(x+1)^{2}+1$

3. 已知二次函数图象与 $ x $ 轴交点是 $ (2,0) $,$ (-1,0) $,与 $ y $ 轴交点是 $ (0,-1) $,求此二次函数的解析式.

答案： 解:设二次函数解析式为$y=a(x-2)(x+1)$,
代入点$(0,-1)$,得$-1=a(0-2)(0+1)$,
解得$a=\dfrac{1}{2}$,
所以二次函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)(x+1)$.

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象过 $ A(0,-5) $,$ B(5,0) $ 两点,它的对称轴为直线 $ x = 2 $. 求此二次函数的解析式.

答案： 解:根据题意可知:
$\begin{cases} -\dfrac{b}{2a}=2, \\c=-5,\\25a+5b+c=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1, \\b=-4,\\c=-5. \end{cases}$
则二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x-5$.

5. 抛物线的顶点为 $ (-1,-8) $,它与 $ x $ 轴的两个交点间的距离为 4,求此抛物线的解析式.

答案： 解:
∵抛物线的顶点为$(-1,-8)$,
∴对称轴为直线$x=-1$,
∵抛物线与$x$轴两个交点的距离为4,
∴抛物线与$x$轴两个交点的坐标为$(-3,0),(1,0)$,
设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$,
把点$(-1,-8)$代入得$a×2×(-2)=-8$,解得$a=2$,
所以抛物线解析式为$y=2(x+3)(x-1)=2x^{2}+4x-6$.
即抛物线解析式为$y=2x^{2}+4x-6$.