《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 正方形 $ABCD$ 中,$AB = 12\ cm$,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,则 $\triangle ABO$ 的周长是(A).
A.$(12 + 12\sqrt{2})\ cm$
B.$(12 + 6\sqrt{2})\ cm$
C.$(12 + \sqrt{2})\ cm$
D.$(24 + 6\sqrt{2})\ cm$

答案： A

2. 如图,$E$,$F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $CD$,$AD$ 上的点,且 $CE = DF$,$AE$,$BF$ 交于点 $O$,下列结论：① $AE = BF$；② $AE\perp BF$；③ $AO = OE$；④ $S_{\triangle AOB}= S_{四边形DEOF}$。其中,错误的有(A)个.

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： A

3. 正方形的面积是 $\dfrac{1}{3}$,则其对角线长是$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

4. 已知正方形 $ABCD$ 在直角坐标系内,点 $A(0,1)$,点 $B(0,0)$,则点 $C$,$D$ 的坐标分别为(1,0)和(1,1).(只写一组)

答案： (1,0);(1,1)

5. 如图,$E$ 为正方形 $ABCD$ 内一点,且 $\triangle EBC$ 是等边三角形,求 $\angle EAD$ 的度数.

答案： 解:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC
∵△BCE 是等边三角形,
∴BE=BC=AB,$\angle EBC=60°$,
∴$\angle ABE=30°$.
∵BE=BC=AB,
∴$\angle BAE=75°$,
∴$\angle EAD=15°$.

6. 在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 的延长线上取一点 $E$,使 $CE = CA$,连接 $AE$ 交 $CD$ 于 $F$,求 $\angle AFD$ 的度数.

答案： 解:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴$\angle ACD=\angle ACB=45°$.
∵$\angle ACB=\angle CAE+\angle AEC$,
∴$\angle CAE+\angle AEC=45°$.
∵CE=AC,
∴$\angle CAE=\angle E=\frac{1}{2}\angle ACB$,
∴$\angle E=22.5°$
∴$\angle AFD=\angle EFC=67.5°$

1. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,点 $E$ 在对角线 $AC$ 上,若 $S_{\triangle ABE}= 5$,则 $\triangle CDE$ 的面积为(A).

A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： A

2. 正方形 $ABCD$ 与正方形 $OMNP$ 的边长均为 $10$,点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 的中心,正方形 $OMNP$ 绕 $O$ 点旋转.证明：无论正方形 $OMNP$ 旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值.

答案：
证明:当 OP$//$AD 或 OP 经过 C 点时,重叠部分的面积显然为正方形 ABCD 的面积的$\frac{1}{4}$,即 25;

当 OP 在一般位置时,过点 O 分别作 CD,BC 的垂线,垂足分别为 E、F,在 Rt△OEG与 Rt△OFH 中,$\angle EOG=\angle HOF$,$OE=OF=5$,
∴△OEG≌△OFH,
∴$S_{四边形OHCG}=S_{四边形OECF}=25$,即两个正方形重叠部分的面积为 25.