《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,DE//BC,BE与CD交于点O,直线AO与BC边交于点M,与DE交于点N.求证：BM= MC.

答案： 证明：延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，连接CF。
∵DE//BC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AO}{AF}$，
∴CF//BE，
从而四边形OBFC为平行四边形，
∴BM = MC。

2. 如图,AM为△ABC的角平分线,D为AB的中点,CE//AB,CE交DM的延长线于E.求证：AC= 2CE.

答案： 证明：延长CE交AM的延长线于F，
∵AB//CF，
∴∠BAM = ∠F。
可得△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，
∴BD:CE = BM:MC，BA:CF = BM:MC，
∴BD:CE = BA:CF。
∵BA = 2BD，
∴CF = 2CE。
又
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAM = ∠CAM，
∴∠CAM = ∠F，
∴AC = CF，
∴AC = 2CE。

3. 如图,点D在AC上,点E在CB的延长线上,且BE= AD,ED交AB于点F.求证：EF·BC= AC·FD.

答案： 证明：过点D作DK//BC，交AB于点K，
∴△AKD∽△ABC，△DKF∽△EBF，
∴$\frac{DK}{BC}=\frac{AD}{AC}$，$\frac{DK}{BE}=\frac{DF}{EF}$，
∴$\frac{DK}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∵BE = AD，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{DF}{EF}$，
∴EF·BC = AC·FD。

4. 如图,在平行四边形ABCD中,BE,DF分别是平行四边形的两个外角的平分线,∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,边AE,AF分别交两条角平分线于点E,F.
(1)求证：△ABE∽△FDA；
(2)连接BD,EF,如果DF^2= AD·AB,求证：BD= EF.

答案：
证明：
(1)
∵∠EAF = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAF + ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∵DF平分∠HDC，
∴∠HDF = ∠FDC。
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAD = ∠CDH，
∴∠HDF = ∠EAF，
∴∠HDF = ∠DAF + ∠BAE，
又
∵∠HDF = ∠DAF + ∠F，
∴∠BAE = ∠F，同理：∠DAF = ∠E，
∴△ABE∽△FDA；
(2)作AP平分∠DAB交CD于点P，

∴∠DAP = $\frac{1}{2}$∠BAD，
∵∠HDF = $\frac{1}{2}$∠CDH，且∠BAD = ∠CDH，
∴∠HDF = ∠DAP，
∴DF//AP，
同理：BE//AP，
∴DF//BE，
∵△ABE∽△FDA，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{DF}{AB}$，
即BE·DF = AD·AB，
又
∵DF² = AD·AB，
∴BE = DF，
∴四边形DFEB是平行四边形，
∴BD = EF。