《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 - 4 $ 的开口向下,顶点坐标是(-2,-4),对称轴是直线x=-2,$ x $＜-2时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,$ x $＞-2时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： (-2,-4);直线x=-2;＜-2;＞-2

2. 把函数 $ y = 2x^2 $ 的图象向右平移 $ 3 $ 个单位,再向下平移 $ 2 $ 个单位,得到的二次函数解析式是y=2(x-3)²-2。

答案： y=2(x-3)²-2

3. 如果二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象的对称轴为直线 $ x = -1 $,那么 $ h = $-1；如果它的顶点坐标为 $ (-1, -3) $,那么 $ k = $-3。

答案： -1;-3

4. 某抛物线当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则该抛物线的表达式可能为(C)。
A.$ y = 2(x + 2) $
B.$ y = -2(x + 2)^2 $
C.$ y = 2(x - 2)^2 $
D.$ y = -2(x - 2)^2 $

答案： C

5. 二次函数 $ y = a(x + m)^2 + k $ 的图象如图所示,下列四个选项中,正确的是(A)。

A.$ m ＜ 0, k ＜ 0 $
B.$ m ＜ 0, k ＞ 0 $
C.$ m ＞ 0, k ＜ 0 $
D.$ m ＞ 0, k ＞ 0 $

答案： A

1. 如果抛物线 $ y = (x + m)^2 + k - 2 $ 的顶点在 $ x $ 轴上,那么常数 $ k = $2。

答案： 2

2. 对抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 - 3 $ 与 $ y = -2(x - 2)^2 + 4 $ 的说法不正确的是(B)。
A.抛物线的形状相同
B.抛物线的顶点相同
C.抛物线对称轴相同
D.抛物线的开口方向相反

答案： B

3. 对于抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3 $ 有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 $ x = 1 $；③顶点坐标为 $ (-1, 3) $；④ $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,其中正确结论的个数为(C)。
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： C

4. 已知抛物线的顶点为 $ (-1, -2) $,且经过点 $ (1, 10) $,则这条抛物线的表达式为(C)。
A.$ y = 3(x - 1)^2 - 2 $
B.$ y = 3(x + 1)^2 + 2 $
C.$ y = 3(x + 1)^2 - 2 $
D.$ y = -3(x + 1)^2 - 2 $

答案： C

5. 如图是二次函数 $ y = a(x + 1)^2 + 2 $ 的图象的一部分,该图象在 $ y $ 轴右侧与 $ x $ 轴的交点坐标是(1,0)。

答案： (1,0)

6. 如图,把抛物线 $ y = x^2 $ 沿直线 $ y = x $ 平移 $ \sqrt{2} $ 个单位长度后,其顶点在直线上的点 $ A $ 处,则平移后抛物线的解析式是(C)。

A.$ y = (x + 1)^2 - 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 1 $

答案： C

7. 把二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象先向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向上平移 $ 4 $ 个单位长度,得到二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图象。
(1) 试确定 $ a, h, k $ 的值；
(2) 指出二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的开口方向,对称轴和顶点坐标。

答案： 解:
(1)由题意,得y=a(x-h+2)²+k+4与y= $\frac{1}{2}(x+1)^2-1$是同一函数,a= $\frac{1}{2}$,2-h=1,k+4=-1,解得a= $\frac{1}{2}$,h=1,k=-5.
(2)y=a(x-h)²+k的解析式为y= $\frac{1}{2}(x-1)^2-5$,a= $\frac{1}{2}$＞0,函数图象开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-5).

如图,抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + 4 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A, B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。过点 $ C $ 作 $ CD // x $ 轴交抛物线的对称轴于点 $ D $,抛物线对称轴交 $ x $ 轴于点 $ E $,连接 $ BD $。已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-1, 0) $。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求四边形 $ COBD $ 的面积。

答案： 解:
(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)²+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物线解析式为y=-(x-1)²+4.
(2)对于抛物线y=-(x-1)²+4,令x=0,得到y=3,即OC=3,
∵抛物线y=-(x-1)²+4的对称轴为直线x=1,
∴CD=1,
∵A(-1,0),
∴B(3,0),即OB=3,则S 梯形COBD= $\frac{(1+3)×3}{2}$=6.