《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 已知函数 $ y = x^{2} - mx + m - 2 $。
(1)求证：不论 $ m $ 为何实数,此二次函数的图象与 $ x $ 轴都有两个不同交点；
(2)若函数 $ y $ 有最小值 $ -\frac{5}{4} $,求函数表达式。

答案：
(1)证明:令$y=0$,可得$x^{2}-mx+m-2=0$.$\because \Delta =m^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4$,$\therefore \Delta ＞0$,
∴方程$x^{2}-mx+m-2=0$有两个不同的实数根,
∴此二次函数的图象与x轴有两个不同交点.
(2)由题意:$\frac{4×1×(m-2)-m^{2}}{4}=-\frac{5}{4}$,$\therefore 4m-8-m^{2}=-5$,$\therefore m^{2}-4m+3=0$,$\therefore m=1$或3,
∴抛物线的解析式为$y=x^{2}-x-1$或$y=x^{2}-3x+1$.

7. 现有一个自动旋转的喷水头正在浇水,设 $ AB $(如图所示)高出地面 $ 1.5 $ 米,喷水头安装在点 $ B $ 处,喷水头喷出的水呈抛物线状,可用二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x + \frac{3}{2} $ 描述。在所建的平面直角坐标系中,请你试着求出水流的落地点 $ D $ 到点 $ A $ 的距离。

答案： 解:当$y=0$时,$-\frac{1}{2}x^{2}+2x+\frac{3}{2}=0$解得$x_{1}=2+\sqrt{7},x_{2}=2-\sqrt{7}$(舍去),
∴水流的落地点D到点A的距离为$(2+\sqrt{7})$米.

如图,二次函数 $ y_{1} = x^{2} + 2x $ 与一次函数 $ y_{2} = x + 2 $ 的图象相交于两点,观察图象回答下列问题：

(1)当 $ x $ 满足$x=-2$或1时,$ y_{1} = y_{2} $；
(2)当 $ x $ 满足$-2＜x＜1$时,$ y_{1} ＜ y_{2} $；
(3)当 $ x $ 满足$-2＜x＜0$时,$ y_{1} ＜ 0 $。

答案：
(1)$x=-2$或1
(2)$-2＜x＜1$
(3)$-2＜x＜0$