《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,二次函数图象的顶点坐标为 $ (4,-3) $,该图象与 $ x $ 轴相交于点 $ A,B $,与 $ y $ 轴相交于点 $ C $,其中点 $ A $ 的横坐标为 $ 1 $.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)求 $ \tan \angle ABC $.

答案： 1.解:
(1)由题意可设抛物线解析式为$y=a(x - 4)^{2}-3,(a≠0).$把$A(1,0)$代入,得$0=a(1 - 4)^{2}-3$，解得$a=\frac{1}{3}$.故该二次函数解析式为$y=\frac{1}{3}(x - 4)^{2}-3$.
(2)令$x = 0$，则$y=\frac{1}{3}×(0 - 4)^{2}-3=\frac{7}{3}$,则$OC=\frac{7}{3}$.因为二次函数图象的顶点坐标为$(4,-3)$，$A(1,0)$，则点$B$与点$A$关于直线$x = 4$对称，所以$B(7,0)$，所以$OB = 7$.所以$tan∠ABC=\frac{OC}{OB}=\frac{\frac{7}{3}}{7}=\frac{1}{3}$，即$tan∠ABC=\frac{1}{3}$.

2. 如图,已知二次函数 $ y = x^2 + ax + 3 $ 的图象经过点 $ P(-2,3) $.
(1)求 $ a $ 的值和图象的顶点坐标.
(2)点 $ Q(m,n) $ 在该二次函数图象上.
①当 $ m = 2 $ 时,求 $ n $ 的值;
②若点 $ Q $ 到 $ y $ 轴的距离小于 $ 2 $,请根据图象直接写出 $ n $ 的取值范围.

答案： 2.解:
(1)把点$P(-2,3)$代入$y = x^{2}+ax + 3$中，解得$a = 2$，$\therefore y = x^{2}+2x + 3$，$\therefore$顶点坐标为$(-1,2)$.
(2)①当$m = 2$时，$n = 11$，②点$Q$到$y$轴的距离小于$2$，$\therefore |m| ＜ 2$，$\therefore -2 ＜ m ＜ 2$，$\therefore 2\leq n ＜ 11$.

3. 如图,已知抛物线经过两点 $ A(-3,0) $, $ B(0,3) $,且其对称轴为直线 $ x = -1 $.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点 $ P $ 是抛物线上点 $ A $ 与点 $ B $ 之间的动点(不包括点 $ A $,点 $ B $),求 $ \triangle PAB $ 的面积的最大值,并求出此时点 $ P $ 的坐标.

答案： 3.解:
(1)抛物线对称轴是直线$x = -1$且经过点$A(-3,0)$由抛物线的对称性可知:抛物线还经过点$(1,0)$.设抛物线的解析式为$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})(a≠0)$，即$y = a(x - 1)(x + 3)$；把$B(0,3)$代入得$3 = -3a$，$\therefore a = -1$，$\therefore$抛物线的解析式为$y = -x^{2}-2x + 3$.
(2)设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$，$\because A(-3,0)$，$B(0,3)$，$\therefore\begin{cases}-3k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 3\end{cases}$，$\therefore$直线$AB$为$y = x + 3$，作$PQ⊥x$轴于$Q$，交直线$AB$于$M$，设$P(x,-x^{2}-2x + 3)$，则$M(x,x + 3)$，$\therefore PM = -x^{2}-2x + 3-(x + 3)= -x^{2}-3x$，$\therefore S=\frac{1}{2}(-x^{2}-3x)×3=-\frac{3}{2}(x + \frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$.当$x = -\frac{3}{2}$时，$S_{最大}=\frac{27}{8}$，$y=-(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{3}{2}) + 3=\frac{15}{4}$，$\triangle PAB$的面积的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.

4. 如图,抛物线 $ y = (x - 1)^2 + k $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $, $ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴相交于点 $ C(0,-3) $. $ P $ 为抛物线上一点,横坐标为 $ m $,且 $ m ＞ 0 $.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当点 $ P $ 位于 $ x $ 轴下方时,求 $ \triangle ABP $ 面积的最大值;
(3)设此抛物线在点 $ C $ 与点 $ P $ 之间部分(含点 $ C $ 和点 $ P $)最高点与最低点的纵坐标之差为 $ h $.
①求 $ h $ 关于 $ m $ 的函数解析式,并写出自变量 $ m $ 的取值范围;
②当 $ h = 9 $ 时,直接写出 $ \triangle BCP $ 的面积.

答案： 4.解:
(1)将点$C(0,-3)$代入$y=(x - 1)^{2}+k$，得$k = -4$，$\therefore y=(x - 1)^{2}-4=x^{2}-2x - 3$.
(2)令$y = 0$，则$x = -1$或$x = 3$，$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$，$\therefore AB = 4$；抛物线顶点为$(1,-4)$，当$P$位于抛物线顶点时，$\triangle ABP$的面积有最大值，$S=\frac{1}{2}×4×4 = 8$.
(3)①当$0 ＜ m\leq1$时，$h=-3-(m^{2}-2m - 3)= -m^{2}+2m$；当$1 ＜ m\leq2$时，$h=-1-(-4)=3$；当$m ＞ 2$时，$h=m^{2}-2m - 3-(-4)=m^{2}-2m + 1$；②当$h = 9$时，若$-m^{2}+2m = 9$，此时$\Delta ＜ 0$，$m$无解；若$m^{2}-2m + 1 = 9$，则$m = 4$，$\therefore P(4,5)$，$\because B(3,0)$，$C(0,-3)$，$\therefore\triangle BCP$的面积$=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×5×1-\frac{1}{2}×(4 + 1)×3 = 6$.