《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

2. 如图,平行四边形 $ABCD$ 中,$AE\perp CD$ 于 $E$,$BF$ 平分 $\angle ABC$ 与 $AD$ 交于点 $F$,$AE$ 与 $BF$ 交于点 $G$。
(1)延长 $DC$ 到 $H$,使 $CH = DE$,连接 $BH$,求证：四边形 $ABHE$ 是矩形；
(2)在(1)所画图形中,在 $CH$ 的延长线上取 $HK = AG$,当 $AE = AF$ 时,求证：$CK = AD$。

答案：
证明:
(1)如图1,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∵CH=DE,
∴CH+CE=DE+CE,即EH=CD,
∴四边形ABHE是平行四边形,
∵AE⊥CD,
∴∠AEH=90°,
∴平行四边形ABHE是矩形.
(2)连接BK,如图2,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD//BC,
∴∠AFB=∠CBF,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AB=AF,
∵AE=AF,
∴AE=AB,由
(1)得:四边形ABHE是矩形,
∴∠ABH=∠BHE=90°,AE=BH,
∴∠BHK=90°,AB=BH,
∵AB//CD,AE⊥CD,
∴AE⊥AB,
∴∠BAG=90°,
∴△BHK≌△BAG(SAS),
∴∠HBK=∠ABG,
∴∠HBK+∠HBF=∠ABG+∠HBF=∠ABH=90°,
∵∠CBK+∠CBF=90°,∠K+∠HBK=90°,
∴∠CBK=∠K,
∴CK=CB,
∴CK=AD.