《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

10. 用因式分解法解一元二次方程：
(1)$(x + 2)^2 = 2x + 4$；
(2)$(2x - 1)^2 = (3 - x)^2$；
(3)$(4x + 1)^2 + 3(4x + 1) = 0$；
(4)$(3x - 1)^2 = 1$。

答案：
(1)$解:(x+2)(x+2-2)=0$
$x(x+2)=0$
$x=0或x+2=0$
$x_1=0，x_2=-2$
(2)$解:[(2x-1)-(3-x)][(2x-1)+(3-x)]=0$
$(3x-4)(x+2)=0$
$3x-4=0或x+2=0$
$x_1=\frac{4}{3}，x_2=-2$
(3)$解:(4x+1)(4x+1+3)=0$
$(4x+1)(4x+4)=0$
$4x+1=0或4x+4=0$
$x_1=-\frac{1}{4}，x_2=-1$
(4)$解:(3x-1+1)(3x-1-1)=0$
$3x(3x-2)=0$
$x=0或3x-2=0$
$x_1=0，x_2=\frac{2}{3}$

11. (1)$3x(x + 2) = 5(x + 2)$；
(2)$3(x - 3) = (x - 3)^2$。

答案：
(1)$解:(3x-5)(x+2)=0$$3x-5=0或x+2=0$
$x_1=\frac{5}{3}，x_2=-2$
(2)$解:(x-3)(x-3-3)=0$
$(x-3)(x-6)=0$
$x-3=0或x-6=0$
$x_1=3，x_2=6$

12. 先化简,再求值：$(\frac{2x + 1}{x + 1} + x - 1) ÷ \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 1}$,其中$x满足x^2 - x - 2 = 0$。

答案： 解:原式=$2(\frac{2x+1}{x+1}+\frac{x^{2}-1}{x+1})÷\frac{x+2}{(x+1)^{2}}$
=$\frac{x^{2}+2x}{x+1})\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x+2}$
=$\frac{x(x+2)}{x+1})\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x+2}$
=$x(x+1)$
=$x^{2}+x$，
$\because x^{2}-x-2=0$，
$\therefore (x-2)(x+1)=0$，
则$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$，
$\because$ 由题意$x\neq-1$，
$\therefore x=2$，
则原式=$2^{2}+2=6$

1. 将多项式乘法$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$。
示例：分解因式$x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2 + 3)x + 2×3 = (x + 2)(x + 3)$。
(1)尝试：分解因式$x^2 + 6x + 8 = (x +$2$)(x +$______4$)$；
(2)应用：请用上述方法解方程$x^2 - 3x - 4 = 0$。

答案：
(1)2;4
(2)原方程可以变形为$(x-4)(x+1)=0$，
$\therefore x-4=0$或$x+1=0$，
$\therefore x_{1}=4$；$x_{2}=-1$

2. 已知$(x^2 + y^2)(x^2 - 1 + y^2) - 12 = 0$,求$x^2 + y^2$。

答案： 解:$\because (x^{2}+y^{2})(x^{2}-1+y^{2})-12=0$，
$\therefore (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)-12=0$，
$\therefore (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}+y^{2})-12=0$，
$\therefore (x^{2}+y^{2}-4)-(x^{2}+y^{2}+3)=0$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=4$，$x^{2}+y^{2}=-3$(舍去).