《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图(1),在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 中,$AC = CE = CB = CD$,且 $\angle ACB = \angle ECD = 90^{\circ}$,$AB$ 与 $CE$ 交于 $F$,$ED$ 与 $AB$,$BC$ 分别交于 $M$,$H$.
(1)求证：$CF = CH$；
(2)如图(2),$\triangle ABC$ 不动,将 $\triangle EDC$ 绕点 $C$ 旋转到 $\angle BCE = 45^{\circ}$时,试判断四边形 $ACDM$ 是什么四边形,并证明你的结论.

答案：
(1)证明:在 $\triangle ACB$ 和 $\triangle ECD$ 中,$\because \angle ACB=\angle ECD=90°$,$\therefore \angle 1+\angle ECB=\angle 2+\angle ECB$,$\therefore \angle 1=\angle 2$.又 $AC=CE=CB=CD$,$\therefore \angle A=\angle D=45°$,$\therefore \triangle ACF\cong\triangle DCH$,$\therefore CF=CH$.
(2)解:四边形 ACDM 是菱形.证明如下:$\because \angle ACB=\angle ECD=90°$,$\therefore \angle 1=45°$,$\angle 2=45°$.又 $\angle E=\angle B=45°$,$\therefore \angle 1=\angle E$,$\angle 2=\angle B$,$\therefore AC// MD$,$CD// AM$,$\therefore$ 四边形 ACDM 是平行四边形.又 $AC=CD$,$\therefore$ 四边形 ACDM 是菱形.

2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$BC = 4\sqrt{3}$,$\angle C = 30^{\circ}$. 点 $D$ 从点 $C$ 出发沿 $CA$ 方向以每秒 $2$ 个单位长度的速度向 $A$ 点匀速运动,同时点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 方向以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $B$ 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 $D$,$E$ 运动的时间是 $t$ 秒($t ＞ 0$).过点 $D$ 作 $DF \perp BC$ 于点 $F$,连接 $DE$,$EF$.
(1)$AC$ 的长是8,$AB$ 的长是4.
(2)在 $D$,$E$ 的运动过程中,线段 $EF$ 与 $AD$ 的关系是否发生变化？若不变化,那么线段 $EF$与 $AD$ 是何关系,并给予证明；若变化,请说明理由.
(3)四边形 $AEFD$ 能够成为菱形吗？如果能,求出相应的 $t$ 值；如果不能,说明理由.

(2) $EF$ 与 $AD$ 平行且相等.证明:在 $\triangle DFC$ 中,$\angle DFC=90°$,$\angle C=30°$,$DC=2t$,$\therefore DF=t$,又 $\because AE=t$,$\therefore AE=DF$,$\because AB\perp BC$,$DF\perp BC$,$\therefore AB// DF$,$\therefore$ 四边形 AEFD 为平行四边形,$\therefore EF$ 与 $AD$ 平行且相等.
(3)四边形 AEFD 能够成为菱形.理由如下: $\because$ 四边形 AEFD 为平行四边形.$AB=4$,$\therefore AC=8$.$\therefore AD=AC - DC=8-2t$.若使平行四边形 AEFD 为菱形,则需 $AE=AD$,即 $t=8-2t$,解得: $t=\frac{8}{3}$.即当 $t=\frac{8}{3}$ 时,四边形 AEFD 为菱形.

答案： 解:
(1)8;4;
(2)不变,$EF$ 与 $AD$ 平行且相等,见解析;
(3)能,$t=\frac{8}{3}$解:
(1) $\because \angle B=90°$,$\angle C=30°$,$\therefore AB=\frac{1}{2}AC$,即 $AC=2AB$,在 $Rt\triangle ABC$ 中,由勾股定理得:$AB^2+BC^2=AC^2=(2AB)^2$,$\because BC=4\sqrt{3}$,$\therefore AB^2+(4\sqrt{3})^2=(2AB)^2$,解得:$AB=4$,$\therefore AC=8$;
(2) $EF$ 与 $AD$ 平行且相等.证明:在 $\triangle DFC$ 中,$\angle DFC=90°$,$\angle C=30°$,$DC=2t$,$\therefore DF=t$,又 $\because AE=t$,$\therefore AE=DF$,$\because AB\perp BC$,$DF\perp BC$,$\therefore AB// DF$,$\therefore$ 四边形 AEFD 为平行四边形,$\therefore EF$ 与 $AD$ 平行且相等.
(3)四边形 AEFD 能够成为菱形.理由如下: $\because$ 四边形 AEFD 为平行四边形.$AB=4$,$\therefore AC=8$.$\therefore AD=AC - DC=8-2t$.若使平行四边形 AEFD 为菱形,则需 $AE=AD$,即 $t=8-2t$,解得: $t=\frac{8}{3}$.即当 $t=\frac{8}{3}$ 时,四边形 AEFD 为菱形.