《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

3. 在边长为 $ 1 $ 的小正方形组成的网格中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题：
(1) 用铅笔画 $ AD // BC $,且 $ AD = BC $($ D $ 为格点),连接 $ CD $；
(2) 线段 $ CD $ 的长为$\sqrt{5}$；
(3) 请你在 $ \triangle ACD $ 的三个内角中任选一个锐角,若你所选的锐角是∠CAD,则它的正弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
(4) 若 $ E $ 为 $ BC $ 中点,则 $ \tan \angle CAE $ 的值是$\frac{1}{2}$。
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答案：
3.
(1)

(2)$\sqrt{5}$
(3)∠CAD；$\frac{\sqrt{5}}{5}$（或∠ADC是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）
(4)$\frac{1}{2}$

4. 轮船以 $ 5 $ 海里/时的速度向正东方向航行,航行至 $ A $ 处看灯塔 $ B $ 在轮船的北偏东 $ 60^{\circ} $ 的方向上,$ 2 $ 小时后船行到 $ C $ 处,发现此时灯塔 $ B $ 在轮船的西北方向上,求此时灯塔 $ B $ 到 $ C $ 处的距离。
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答案：
4. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D.
∴∠DAB=90°-60°=30°，∠DCB=90°-45°=45°.设BD=x，在Rt△ABD中，AD=$\frac{x}{\tan30°}$=$\sqrt{3}x$.在Rt△BDC中，BD=DC=x，BC=$\sqrt{2}x$.又AC=5×2=10，
∴$\sqrt{3}x+x=10$.得x=5($\sqrt{3}-1$).
∴BC=$\sqrt{2}·5(\sqrt{3}-1)=5(\sqrt{6}-\sqrt{2})$（海里）.

5. 高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音。如图,点 $ A $ 是某市一高考考点,在位于 $ A $ 考点南偏西 $ 15^{\circ} $ 方向距离 $ 125 $ 米的 $ C $ 点处有一消防队。在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于 $ C $ 点北偏东 $ 75^{\circ} $ 方向的 $ F $ 点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为 $ 100 $ 米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶。试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由。($ \sqrt{3} $ 取 $ 1.732 $)
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答案：
5. 解：如图，过点A作AH⊥CF于点H，由题意得：∠MCF=75°，∠CAN=15°，AC=125米，
∵CM//AN，
∴∠ACM=∠CAN=15°，
∴∠ACH=∠MCF-∠ACM=75°-15°=60°.
∴在Rt△ACH中，AH=AC·sin∠ACH=125×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≈108.25(米)＞100米.故消防车不需要改道行驶.

1. 小明想知道湖中两个小亭 $ A $,$ B $ 之间的距离,他在与小亭 $ A $,$ B $ 位于同一水平面且东西走向的湖边小道 $ l $ 上某一观测点 $ M $ 处,测得亭 $ A $ 在点 $ M $ 的北偏东 $ 30^{\circ} $,亭 $ B $ 在点 $ M $ 的北偏东 $ 60^{\circ} $,当小明由点 $ M $ 沿小道 $ l $ 向东走 $ 60 $ 米时,到达点 $ N $ 处,此时测得亭 $ A $ 恰好位于点 $ N $ 的正北方向,继续向东走 $ 30 $ 米时到达点 $ Q $ 处,此时亭 $ B $ 恰好位于点 $ Q $ 的正北方向,根据以上测量数据,请你帮助小明计算湖中两个小亭 $ A $,$ B $ 之间的距离。
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答案：
1. 解：如图，连接AN、BQ.
∵点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向，
∴AN⊥l，BQ⊥l.在Rt△AMN中，tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$，MN=60米，
∴AN=60$\sqrt{3}$米，在Rt△BMQ中，tan∠BMQ=$\frac{BQ}{MQ}$，MQ=60+30=90(米)，
∴BQ=30$\sqrt{3}$米.过B作BE⊥AN于点E，则BE=NQ=30米，AE=AN-BQ=30$\sqrt{3}$米.在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²=AE²+BE²，则AB²=$(30\sqrt{3})^2+30^2$，
∴AB=60米.故湖中两个小亭A、B之间的距离为60米.