《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是边BC$上的中线,过点$A作AE// BC$, 过点$D作DE// AC$,$DE与AB交于点O$,连接$BE$.
(1)求证:$AD = BE$;
(2)当$∠BAC = 90^{\circ}$时,求证:四边形$ADBE$是菱形.
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答案： 证明:
(1)
∵AE//BC,DE//AC,
∴四边形 ACDE 是平行四边形.
∴AE=CD.
又 D 为 BC 的中点,
∴BD=CD,
∴AE=BD.
∵AE//BD,
∴四边形 ADBE 是平行四边形,
∴AD=BE.
(2)
∵∠BAC=90°,
∴△ABC 为直角三角形,
在 Rt△ABC 中,D 为 BC 的中点,
∴AD=BD,
由
(1)知四边形 ADBE 为平行四边形,
∴平行四边形 ADBE 是菱形.

5. 在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB于D$,$AE平分∠CAB$, 交$CD于F$, 交$CB于E$,$EH\perp AB于H$,求证:四边形$CFHE$是菱形.

答案： 证明:
∵AE 平分∠BAC,
∴∠CAE=∠EAH.
而∠ACB=90°,
CD⊥AB,
∴∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠EAH=90°,
又
∵∠AFD=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CF=CE.
又 AE 平分∠BAC,∠ACB=90°,EH⊥AB,
∴CE =EH,
∴ CF =EH =CE,
∵CD ⊥AB,
EH⊥AB,
∴CF//EH,
∴四边形 CFHE 是菱形.

1. 在四边形$ABCD$中,$E为AB$上一点,$\triangle ADE和\triangle BCE$都是等边三角形,$AB$,$BC$,$CD$,$DA的中点分别为P$、$Q$、$M$、$N$,试判断四边形$PQMN$为怎样的四边形, 并证明你的结论.

答案： 解:四边形 PQMN 为菱形,证明如下:
连接 AC, 在△ACB 中,P、Q 分别为 AB、
BC 的中点,
∴PQ 为△ABC 的中位线.
∴PQ//AC 且
$PQ=\frac {1}{2}AC$. 在△DAC 中,N,M 分别为
AD,DC 的中点,
∴MN 为△DAC 的中位线,
∴MN//AC 且$MN=\frac {1}{2}AC$.
∴MN$\underline {\underline {// }}$PQ,
∴四边形 MNPQ 为平行四边形.连接 BD,
同理可得$MQ=\frac {1}{2}BD$且 MQ//BD.在
△ACE 和△DBE 中,
∵AE =DE,$∠AEC=∠AED+∠DEC=$
∠DEC +∠BEC =∠DEB,CE =BE,
∴
△ACE≌△DBE(SAS).
∴AC=BD.
∴PQ=MQ,
∴平行四边形 PQMN 为菱形.

2. 尺规作图(保留作图痕迹)并回答问题:已知如图,四边形$ABCD$是平行四边形.求作:菱形$AECF$,使点$E,F分别在BC$,$AD$上.
请回答:在你的作法中,判定四边形$AECF$是菱形的依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或有一组邻边相等的平行四边形是菱形).

答案： 解:如图,四边形 AECF 即为所求作.
理由:四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AE//CF,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF 垂直平分线段 AC,
∴OA=OC,
在△AEO 和△CFO 中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠FCO\\ AO=OC\\ ∠AOE=∠COF\end{array}\right. $,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴AE=CF,
∴四边形 AECF 是平行四边形,
∵EA=EC 或 AC⊥EF,
∴四边形 AECF 是菱形.