《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

8. 如图,点 $ A,B,C,D $ 为矩形的四个顶点,$ AB= 16 cm $,$ AD= 6 cm $,动点 $ P,Q $ 分别从点 $ A,C $ 同时出发,点 $ P $ 以 $ 3 cm/s $ 的速度向点 $ B $ 移动,一直到达 $ B $ 点为止,点 $ Q $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度向点 $ D $ 移动.
(1) 点 $ P,Q $ 两点从出发开始经过几秒钟,四边形 $ PBCQ $ 的面积为 $ 33 cm^{2} $；
(2) $ P,Q $ 两点从出发开始经过几秒钟,点 $ P $ 和点 $ Q $ 的距离为 $ 10 cm $？

答案：
解:
(1)设x秒后四边形PBCQ的面积为$33cm^{2},$
则$\frac {1}{2}(16 - 3x + 2x)×6 = 33,$
解得$x = 5.$
(2)过点P作$PN⊥CD$于点N,设经过t秒钟后点P和Q相距10 cm,

则$CQ = 2tcm,AP = DN = 3tcm$
$\therefore NQ = |CD - DN - CQ| = |16 - 3t - 2t| = |16 - 5t|$
在$Rt△PNQ$中,$PN^{2}+NQ^{2}+PQ^{2}$
$\therefore 22+(16 - 5t)^{2}=10^{2}$
$\therefore t_{1}=\frac {8}{5},t_{2}=\frac {24}{5}$即$t=\frac {8}{5}$秒或$\frac {24}{5}$秒时,$PQ = 10cm.$

9. 茶博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观,若游客过多,对馆中的文物会不利,但同时考虑到文物的保存费用问题,还要保证一定的门票收入,因此博物馆采取提高门票价格的方法来控制人数,在该方法的实施过程中发现每周参观人数 $ y $(人)与票价 $ x $(元)之间存在着如图所示的一次函数关系,在这种情况下,若要保证每周 4 万元的门票收入,那么每周应限定参观人数为多少？

答案： 解:由题意得$y = - 500x + 12000(x ＞ 0),$
$\because xy = 40000,$
$\therefore x(-500x + 12000)=40000,$
即$x^{2}-24x + 80 = 0,$
解得$x_{1}=20,x_{2}=4$，分别代入$y = - 500x + 12000,$
解得$y_{1}=2000,y_{2}=10000.$
由于要控制人数，所以取$x = 20$，此时$y = 2000.$
答:每周应限定参观人数为2000人,门票价格是20元.