《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 如图,在离铁塔 150 米的 $ A $ 处,用测倾仪测得塔顶的仰角为 $ \alpha $,测倾仪高 $ AD $ 为 1 米,则铁塔的高 $ BC $ 为(B)米。

A.$ (1+\frac{150}{\tan\alpha}) $
B.$ (1+150\tan\alpha) $
C.$ (1+150\sin\alpha) $
D.$ (1+\frac{150}{\sin\alpha}) $

答案： B

2. 为了测量某山(如图所示)的高度,甲在山顶 $ A $ 处测得 $ C $ 处的俯角为 $ 45^{\circ} $,$ D $ 处的俯角为 $ 30^{\circ} $,乙在山下测得 $ C $,$ D $ 之间的距离为 400 米。已知 $ B $,$ C $,$ D $ 在同一水平面的同一直线上,求山高 $ AB $。(精确到 0.1 米,可能用到的数据：$ \sqrt{2}\approx1.414 $,$ \sqrt{3}\approx1.732 $)

答案： 解:设AB=x,
由题意可知:∠ACB=45°,∠ADB=30°,
∴AB=BC=x,
∴BD=BC+CD=x+400,
在Rt△ADB中,
∴tan30°=AB/BD,
∴1/√3=x/(x+400),
解得x=400/(√3-1)≈546.4,
∴山高为546.4米.

3. 如图,直立于地面上的电线杆 $ AB $,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 $ BC $,$ CD $,测得 $ BC = 6 $ 米,$ CD = 4 $ 米,$ \angle BCD = 150^{\circ} $,在 $ D $ 处测得电线杆顶端 $ A $ 的仰角为 $ 30^{\circ} $,试求电线杆的高度(结果保留根号)。

解:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,
∵∠BCD=150°,
∴∠DCF=30°,又CD=4,
∴DF=2,CF=2√3,
由题意得∠E=30°,
∴EF=DF/tanE=2√3,
∴BE=BC+CF+EF=6+4√3,
∴AB=BE×tanE=(6+4√3)×√3/3=(2√3+4)米.
答:电线杆的高度为(2√3+4)米.

答案： 解:延长AD交BC的延长线于E,作DF⊥BE于F,
∵∠BCD=150°,
∴∠DCF=30°,又CD=4,
∴DF=2,CF=2√3,
由题意得∠E=30°,
∴EF=DF/tanE=2√3,
∴BE=BC+CF+EF=6+4√3,
∴AB=BE×tanE=(6+4√3)×√3/3=(2√3+4)米.
答:电线杆的高度为(2√3+4)米.

A. $ B $ 地在 $ C $ 地的北偏西 $ 40^{\circ} $ 方向上
B. $ A $ 地在 $ B $ 地的南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向上
C. $ \cos\angle BAC= \frac{\sqrt{3}}{2} $
D. $ \angle ACB = 50^{\circ} $

答案： C

5. 如图,$ C $ 地在 $ A $ 地的正东方向,因有大山阻隔,由 $ A $ 地到 $ C $ 地需要绕行 $ B $ 地,已知 $ B $ 地位于 $ A $ 地北偏东 $ 67^{\circ} $ 方向,距离 $ A $ 地 520 km,$ C $ 地位于 $ B $ 地南偏东 $ 30^{\circ} $ 方向,若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求 $ A $ 地到 $ C $ 地之间高铁线路的长。(结果保留整数,参考数据：$ \sin67^{\circ}\approx\frac{12}{13} $；$ \cos67^{\circ}\approx\frac{5}{13} $；$ \tan67^{\circ}\approx\frac{12}{5} $；$ \sqrt{3}\approx1.73 $)

答案： 解:作BD⊥AC于点D,
在Rt△ABD中,
sin67°=AD/AB=12/13,
cos67°=BD/AB=5/13,
∴AD=12/13AB=480(km)
∴BD=5/13AB=200(km).
在Rt△BCD中,∠CBD=30°,
tan30°=CD/BD=√3/3,
∴CD=√3/3BD≈116(km).
∴AC=CD+DA≈596(km).
答:A地到C地的高铁线路长为596km.