《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,直线y= $\frac{1}{2}$x+1交x轴于点A,交y轴于点B.试在y轴上找一点P,使△AOP与△AOB相似,你能找出几个这样的点(点P与点B不重合)? 分别求出对应AP的长度.

答案：
解：
∵当x = 0时，y = 1，当y = 0时，x = -2，
∴OA = 2，OB = 1，
∵∠AOB = ∠AOP = 90°，

∴当OA:OB = OP:OA时，△AOP与△AOB相似，

∴2:1 = OP:2，
解得OP = 4，
故有2个这样的P点，坐标分别为(0, -4)或(0, 4)。
$AP = \sqrt{OA^2 + OP^2}=2\sqrt{5}$

若△AOP≌△AOB，则$AP = \sqrt{5}$。

8. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= -x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A($\frac{4}{3}$,$\frac{5}{3}$),点D的坐标为(0,1)
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD与x轴交于点B,若点E是直线AD上一动点(不与点B重合),当△BOD与△BCE相似时,求点E的坐标.

答案：
解：
(1)设直线AD的解析式为y = kx + b，

将$A(\frac{4}{3},\frac{5}{3})$，D(0, 1)代入得$\begin{cases}\frac{4}{3}k + b = \frac{5}{3} \\ b = 1 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = 1 \end{cases}$。
故直线AD的解析式为$y = \frac{1}{2}x + 1$；
(2)
∵直线AD与x轴的交点为(-2, 0)，
∴OB = 2，
∵点D的坐标为(0, 1)，
∴OD = 1，
∵y = -x + 3与x轴交于点C(3, 0)，
∴OC = 3，
∴BC = 5。
过点E作EF垂直于BC于F，
∵△BOD与△BEC相似，
∴①$\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{BE}=\frac{OD}{CE}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{BE}=\frac{1}{CE}$，
∴$BE = 2\sqrt{5}$，$CE = \sqrt{5}$，
∵BC·EF = BE·CE，
∴EF = 2，$CF = \sqrt{CE^2 - EF^2}=1$，
∴E(2, 2)，
②$\frac{OB}{BC}=\frac{OD}{CE}$，
∴$\frac{2}{5}=\frac{1}{CE}$，
∴$CE = \frac{5}{2}$，
∴$E(3,\frac{5}{2})$。
即E(2, 2)或$E(3,\frac{5}{2})$。