《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

13. 超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为 $ 40 $ 元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过 $ 60 $ 元),每天可售出 $ 50 $ 件.根据市场调查发现,销售单价每增加 $ 2 $ 元,每天销售量会减少 $ 1 $ 件.设销售单价增加 $ x $ 元,每天售出 $ y $ 件.
(1)请写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式;
(2)当 $ x $ 为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润 $ 2250 $ 元?
(3)设超市每天销售这种玩具可获利 $ w $ 元,当 $ x $ 为多少时 $ w $ 最大,最大值是多少?

答案： 13.解:
(1)根据题意得，$y = -\frac{1}{2}x + 50$.
(2)根据题意得，$(40 + x)(-\frac{1}{2}x + 50)=2250$，解得$x_{1} = 50$，$x_{2} = 10$，$\because$每件利润不能超过$60$元，$\therefore x = 10$.答:当$x$为$10$时，超市每天销售这种玩具可获利润$2250$元.
(3)根据题意得，$w = (40 + x)(-\frac{1}{2}x + 50)=-\frac{1}{2}x^{2}+30x + 2000 = -\frac{1}{2}(x - 30)^{2}+2450$，$\because a = -\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$当$x ＜ 30$时，$w$随$x$的增大而增大，又$\because 40 + x\leq60$，$\therefore x\leq20$，$\therefore$当$x = 20$时，$w_{最大}=2400$，答:当$x$为$20$时$w$最大，最大值是$2400$元.

14. 某工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本 $ 16 $ 元,工厂将该产品进行网络批发,批发单价 $ y $(元)与一次性批发量 $ x $(件)( $ x $ 为正整数)之间满足如图所示的函数关系.
(1)直接写出 $ y $ 与 $ x $ 之间所满足的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围;
(2)若一次性批发量不超过 $ 60 $ 件,当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?

答案： 14.解:
(1)当$0 ＜ x\leq20$且$x$为整数时，$y = 40$；当$20 ＜ x\leq60$且$x$为整数时，$y = -\frac{1}{2}x + 50$；当$x ＞ 60$且$x$为整数时，$y = 20$.
(2)设所获利润$w$(元)，当$0 ＜ x\leq20$且$x$为整数时，$y = 40$，$\therefore w = (40 - 16)×20 = 480$元；当$20 ＜ x\leq60$且$x$为整数时，$y = -\frac{1}{2}x + 50$，$\therefore w = (y - 16)x = (-\frac{1}{2}x + 50 - 16)x$，$\therefore w = -\frac{1}{2}x^{2}+34x$，$\therefore w = -\frac{1}{2}(x - 34)^{2}+578$，$\because -\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$当$x = 34$时，$w$最大，最大值为$578$元.答：一次批发$34$件时所获利润最大，最大利润是$578$元.

15. 某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为 $ 200 $ 元时,每天入住的房间数为 $ 60 $ 间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在 $ 170~240 $ 元之间(含 $ 170 $ 元,$ 240 $ 元)浮动时,每天入住的房间数 $ y $(间)与每间标准房的价格 $ x $(元)的数据如下表：

(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象;
(2)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围;
(3)设客房的日营业额为 $ w $(元),若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大? 最大为多少元?

答案：
15.解:
(1)
(2)设$y = kx + b(k≠0)$，把$(200,60)$和$(220,50)$代入，得$\begin{cases}200k + b = 60\\220k + b = 50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = 160\end{cases}$，$\therefore y = -\frac{1}{2}x + 160(170\leq x\leq240)$.
(3)$w = xy = x(-\frac{1}{2}x + 160)=-\frac{1}{2}x^{2}+160x$.$\therefore$对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=160$，$\because a = -\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$在$170\leq x\leq240$范围内，$w$随$x$的增大而减小.故当$x = 170$时，$w$有最大值，最大值为$12750$元.