《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

1. 电灯$P在横杆AB$的正上方,$AB$在灯光下的影子为 $CD$,$AB// CD$,$AB = 2\mathrm{m}$,$CD = 5\mathrm{m}$,$P$到 $CD$的距离是 $3\mathrm{m}$,则$P到AB$的距离是(C)$\mathrm{m}$。

A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{6}{7}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{10}{3}$
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答案： C

2. 两个相似三角形的对应高线之比为$\sqrt{3}:2$,且第一个三角形的某一边长为$\sqrt{6}$,则第二个三角形中与之对应的边的长度为2$\sqrt{2}$。

答案： 2$\sqrt{2}$

3. 一根长 $a\mathrm{cm}$的铁丝,首尾相接围成一个等边三角形,要将它按如图的方式向外等距扩 $1\mathrm{cm}$,得到新的等边三角形,则新的等边三角形的周长是$a+6\sqrt{3}$$\mathrm{cm}$。
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答案： a+6$\sqrt{3}$

4. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$、$F分别在边AD$、$DC$上,$\triangle ABE\sim\triangle DEF$,$AB = 6$,$AE = 8$,$DE = 2$,求 $EF$的长。
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答案：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°。
∵△ABE∽△DEF，∠A=∠D=90°，
∴对应边成比例：$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$。
已知AB=6，AE=8，DE=2，代入比例式得：$\frac{6}{2}=\frac{8}{DF}$，解得$DF=\frac{8}{3}$。
在Rt△DEF中，∠D=90°，由勾股定理得：$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2^2+\left(\frac{8}{3}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{64}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}$。
EF的长为$\frac{10}{3}$。

如图,$\triangle ABC$是一张锐角三角形的硬纸片,$AD是边BC$上的高,$BC = 40\mathrm{cm}$,$AD = 30\mathrm{cm}$,从这张硬纸片上剪下一个长($HG$)是宽($HE$)$2$倍的矩形 $EFGH$,使它的一边 $EF在BC$上,顶点 $G$,$H$分别在 $AC$,$AB$上,$AD与HG$的交点为 $M$。
(1)求证：$\frac{AM}{AD}= \frac{HG}{BC}$；
(2)求矩形 $EFGH$的周长。
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答案： 解:
(1)证明:
∵四边形EFGH为矩形,
∴EF//HG,
∴∠AHG=∠B,∠AGH=∠C,
∴△AHG∽△ABC
∵AD⊥BC,EF//HG,
∴AM⊥HG,
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$/.
(2)设HE=x cm,则HG=2x cm.
∵AD⊥BC,
∴DM=HE,
∴AM=AD-DM=AD-HE=(30-x)cm.由
(1)得$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$,
∴$\frac{30-x}{30}=\frac{2x}{40}$,解得x=12,则2x=24.故矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm).