《2025年学习之友九年级数学上册北师大版》

6. 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ DE \perp AC $,垂足为 $ E $,若 $ \sin\angle ADE = \dfrac{4}{5} $,$ AD = 8 $,则 $ AB $ 的长为多少？
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答案： 解:
∵DE⊥AC,
∴∠ADE + ∠CAD=90°,
∵∠ACD + ∠CAD=90°,
∴∠ACD=∠ADE
∵AB//CD,
∴∠BAC=∠ACD.
∵sin∠ADE=4/5,
∴BC/AC=4/5,
∴AC=10 由勾股定理得:AB=√(AC² - BC²)=√(10² - 8²)=6.

7. 在电线杆上离地面高度 $ 5 $ 米的 $ C $ 点处引两根拉线固定电线杆,一根拉线 $ AC $ 和地面成 $ 60° $ 角,另一根拉线 $ BC $ 和地面成 $ 45° $ 角。求两根拉线的总长度。(结果用带根号的数的形式表示)
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答案： 解:根据题意得:CD=5,在Rt△ACD中,sin60°=CD/AC,
∴AC=10√3/3.在Rt△BCD中,sinB=CD/BC,
∴BC=5√2,
∴两根拉线的总长度为(10√3/3 + 5√2)米.

1. 如图,在平行四边形 $ ABCD $ 中,$ AE \perp BC $ 于 $ E $,$ AF \perp CD $ 于 $ F $,若 $ AE = 4 $,$ AF = 6 $,$\sin\angle BAE = \dfrac{3}{5}$。求 $ CF $ 的长。
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答案： 解:设BE=3x,则AB=5x,根据勾股定理得:AB²=AE² + BE²,
∴x=1,
∴AB=5,BE=3.
∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,
∴sinD=sinB=4/5=6/AD
∴AD=15/2.在Rt△ADF中,根据勾股定理得:AD²=AF² + DF²,
∴DF=9/2,
∴CF=CD - DF=AB - DF=5 - 9/2=1/2.

2. 如图,一块四边形土地,其中 $\angle ABD = 120°$,$ AB \perp AC $,$ BD \perp CD $,$ AB = 30\sqrt{3}\ m $,$ CD = 50\sqrt{3}\ m $,求这块土地的面积。
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答案： 解:延长CA,DB交于点P,
∵∠ABD=120°,AB⊥AC,BD⊥CD,
∴∠ABP=60°,∠ACD=60°,在Rt△CDP中,tan∠ACD=PD/CD,
∴PD=CD·tan∠ACD=50√3·tan60°=150(m), 在Rt△PAB中,tan∠PBA=PA/AB,
∴PA=AB·tan∠PBA=30√3·tan60°=90(m).
∴S四边形ACDB=S△CDP - S△ABP=1/2×50√3×150 - 1/2×30√3×90=2400√3(m²),即这块土地的面积为2400√3m².