《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

6. 【例1】(教材九上P89习题T5变式)如图，在$\odot O$中，$OA⊥$弦$BC$，$∠AOB=60^{\circ}$，求$∠ADC$的度数.

答案： 解:连接 OC.
∵ OA⊥BC,$\therefore \widehat {AC}=\widehat {AB}.\therefore ∠AOC=∠AOB=60^{\circ }.$ $\therefore ∠ADC=\frac {1}{2}∠AOC=30^{\circ }.$

7. 如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，若$∠A+∠BOC=180^{\circ}$，求$∠A$的度数.

答案： 解:
∵∠A 和∠BOC 对应$\widehat {BC},\therefore ∠A=\frac {1}{2}∠BOC.\because ∠A+∠BOC$ $=180^{\circ },\therefore ∠A+2∠A=180^{\circ }.\therefore ∠A=60^{\circ }.$

8. 【例2】(教材九上P90习题T14)如图，$\triangle ABC$的顶点在$\odot O$上，$P$为$\widehat{AB}$上一点，连接$PC$，$∠1=∠2=60^{\circ}$. 求证：$\triangle ABC$为等边三角形.

答案： 证明:由题意,得$∠ABC=∠2=60^{\circ },∠BAC=∠1=60^{\circ }.\therefore △ABC$ 为等边三角形.

9. 如图，点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，$D$是$\widehat{BC}$的中点. 求证：$∠1=∠2=∠3=∠4$.

答案： 证明:
∵ D 是$\widehat {BC}$的中点,$\therefore \widehat {BD}=\widehat {CD}.\therefore ∠1=∠2,∠3=∠4$.又
∵ $∠1=∠3,∠2=∠4,\therefore ∠1=∠2=∠3=∠4.$

10. (2024·湖南)如图，$AB$，$AC$为$\odot O$的两条弦，连接$OB$，$OC$. 若$∠A=45^{\circ}$，则$∠BOC$的度数为(C)

A.$60^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$135^{\circ}$

答案： C

11. (2023·广州黄埔区期末)如图，在$\odot O$中，弦$AB$，$CD$相交于点$P$. 若$∠A=60^{\circ}$，$∠APD=80^{\circ}$，则$∠B=$(C)

A.$30^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： C

12. (教材九上P88习题T3)如图，$OA$，$OB$，$OC$都是$\odot O$的半径，$∠AOB=2∠BOC$，求证：$∠ACB=2∠BAC$.

答案： 证明:$\because ∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,∠AOB=2∠BOC,$ $\therefore ∠ACB=2∠BAC.$

13. 如图，四边形$ABCD$的顶点均在$\odot O$上，点$E$在对角线$AC$上，$EC=BC=DC$.
(1)若$∠CBD=39^{\circ}$，求$∠BAD$的度数；
(2)求证：$∠1=∠2$.

答案： 解:
(1)$\because BC=DC,\therefore \widehat {BC}=\widehat {DC}.\therefore ∠BAC=∠CAD=∠CBD=$ $39^{\circ }.\therefore ∠BAD=∠BAC+∠CAD=39^{\circ }+39^{\circ }=78^{\circ }$.
(2)证明:$\because EC$ $=BC,\therefore ∠CEB=∠CBE.\because ∠CEB=∠2+∠BAE,∠CBE=∠1$ $+∠CBD,\therefore ∠2+∠BAE=∠1+∠CBD.\because ∠BAE=∠CBD,$ $\therefore ∠1=∠2.$