《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. (教材九上 P109“阅读与思考”变式)(2023·福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为 3.141 6.如图，⊙O 的半径为 1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为$\frac {3\sqrt {3}}{2}$.若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(C)


A.$\sqrt {3}$
B.$2\sqrt {2}$
C.3
D.$2\sqrt {3}$

答案： 1.C

2. 新考向 情境素材如图 1，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味.图 2 是一款拱门的示意图，其中 C 为 AB 的中点，D 为拱门最高点，线段 CD 经过圆心 O，已知拱门的半径为1.5 m，拱门最下端 AB 的长为 1.8 m.
(1)求拱门最高点 D 到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个长和宽为 2m，高为 1.2 m 的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m，判断搬运该桌子时能否通过拱门.
(参考数据：$\sqrt {5}\approx 2.236$)

答案： 2.解:
(1)连接AO.
∵CD⊥AB,CD经过圆心O,
∴AC=CB=0.9m.
∴OC=√(AO² - AC²)=√(1.5² - 0.9²)=1.2(m).
∴CD=OD+OC =1.5+1.2=2.7(m).
∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m.
(2)设MN为桌子的宽度，EF为桌子抬高0.5m时桌底经过的平面，MN,EF分别交CD于点P,Q，连接OM.
∵MN//EF.根据题意,得MP=NP=1m,OM=1.5m,CQ=0.5m.
∴OQ=OC - CQ =1.2 - 0.5=0.7(m).在Rt△OMP中,根据勾股定理,得OP=√(OM² - MP²)=√(1.5² - 1²)=√5/2≈1.118(m).
∵OP＞OQ.
∴EF＞MN.
∴PQ=OQ+OP≈0.7+1.118=1.818(m).
∵1.818＞1.2,
∴搬运该桌子时能够通过拱门.

3. 新考向 综合与实践(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗.
【素材】如图 1 所示.
①一张直径为 10 cm 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm 的圆锥形过滤漏斗.

【实践操作】
步骤 1：取一张滤纸；
步骤 2：按如图 2 所示的步骤折叠好滤纸；
步骤 3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤 4：将围成圆锥形的滤纸放入如图 1 所示的漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留 π)

答案： 3.解:
(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下:由2πr=(nπR)/180得n/360=r/R.图3中,n₁=90°×2=180°,图4中,r/R=3.5/7=1/2,
∴n₂=180°.
∵n₁=n₂,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)如图5,可知CD=DE=CE=5cm,
∴∠CDE=60°.过点C作CF⊥DE于点F,则DF=1/2DE=5/2cm,在Rt△CDF中,CF=√(CD² - DF²)=5√3/2cm.
∴V=π×(5/2)²×5√3/2×1/3=125√3/24π(cm³).
答:圆锥形的体积是125√3/24πcm³.