《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

4. 【例 2】（教材九上 P114 例 3 变式）蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成（如图）。如果想用毛毡搭建 $20$ 个底面积为 $9\pi\ m^{2}$，高为 $3.5\ m$，外围（圆柱）高 $1.5\ m$ 的无底面的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？（结果保留 $\pi$ 及根号）

答案： 4.解:$\because$蒙古包底面积为$9\pi\ m^{2}$,高为$3.5\ m$,外围（圆柱）高$1.5\ m$,$\therefore$底面半径$r=3\ m$,圆锥的高为$3.5-1.5=2(m)$.$\therefore$圆锥的母线长为$\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}(m)$.$\therefore$圆锥的侧面积为$\pi×3×\sqrt{13}=3\sqrt{13}\pi(m^{2})$.圆锥的周长为$2\pi×3=6\pi(m)$.$\therefore$圆柱的侧面积为$6\pi×1.5=9\pi(m^{2})$.$\therefore 20×(3\sqrt{13}\pi+9\pi)=(60\sqrt{13}+180)\pi\ m^{2}$.
答:至少需要$(60\sqrt{13}+180)\pi\ m^{2}$的毛毡.

5. 如图，粮仓的顶部是圆锥，这个圆锥的底面圆的半径为 $4\ m$，高为 $3\ m$。
(1) 求这个圆锥的母线长；
(2) 为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？（$\pi$ 取 $3.14$，结果精确到 $1\ m^{2}$）

答案： 5.解:
(1)$\because$圆锥底面圆的半径为$4\ m$,高为$3\ m$,$\therefore$这个圆锥的母线长为$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(m)$.
(2)顶部圆锥的底面圆周长为$2\pi×4=8\pi(m)$,$\therefore$圆锥的侧面积为$\frac{1}{2}×8\pi×5=20\pi\approx63(m^{2})$.
答:所需油毡的面积至少是$63\ m^{2}$.

6. 圆锥底面圆的半径为 $2$，母线长为 $4$，则该圆锥的侧面积为(B)

A.$4\pi$
B.$8\pi$
C.$12\pi$
D.$4$

答案： B

7. 若圆锥的高为 $3$，底面半径为 $4$，则此圆锥的全面积为(B)

A.$40\pi$
B.$36\pi$
C.$26\pi$
D.$20\pi$

答案： B

8. (2023·广州越秀区期末)如图，在 $\triangle AOB$ 中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle OAB = 30^{\circ}$，以 $OA$ 为轴将 $\triangle AOB$ 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角 $\theta$ 的度数是$180^{\circ}$。

答案： $180^{\circ}$

9. 有一个直径为 $1\ m$ 的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为 $90^{\circ}$ 的扇形 $ABC$，如图所示。
(1) 求被剪掉阴影部分的面积；
(2) 用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？

答案： 9.解:
(1)连接$BC$.$\because\angle BAC=90^{\circ}$,$\therefore BC$为$\odot O$的直径,即$BC=1\ m$.又$\because AB=AC$,$\therefore AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}\ m$.$\therefore S_{阴影}=S_{\odot O}-S_{扇形ABC}=\pi×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{90\pi×\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{360}=\frac{\pi}{8}(m^{2})$.
(2)设圆锥底面圆的半径为$r\ m$,则$\frac{90×\pi×\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}=2\pi r$,解得$r=\frac{\sqrt{2}}{8}$.
答:圆锥的底面圆的半径长为$\frac{\sqrt{2}}{8}\ m$.