《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

正多边形的概念：各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.

答案： 各边相等,各角相等

探究 正多边形和圆
问题 1：如图，将一个圆五等分，依次连接各等分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形. 请你证明这个结论.
问题 2：如果将一个圆六等分，得到的是正六边形吗？
问题 3：对一个圆进行 $ n $ 等分后，可以得到一个正 $ n $ 边形.
各边都相等的圆内接多边形是正多边形吗？_______.
各角都相等的圆内接多边形是正多边形吗？_______.
问题 4：正多边形还有哪些性质呢？
正 $ n $ 边形的内角和是_______，每一个内角的度数是_______；外角和是_______，每个外角的度数是_______.
小结：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的_______，外接圆的半径叫做正多边形的_______，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的_______，中心到正多边形的任一边的距离叫做正多边形的_______.

答案： 问题3:是 不是;问题4:$(n-2)×180^{\circ }$ $\frac {(n-2)×180^{\circ }}{n}$ $360^{\circ }$ $\frac {360^{\circ }}{n}$;小结:中心 半径 中心角 边心距

1. (教材 9 上 P106 练习 T3 变式)已知半径为 $ R $ 的圆内接正三角形、正方形，填写下表：

答案： 1.$120^{\circ }$ $\sqrt {3}R$ $\frac {1}{2}R$ $\frac {3\sqrt {3}R^{2}}{4}$ $90^{\circ }$ $\sqrt {2}R$ $\frac {\sqrt {2}R}{2}$ $2R^{2}$

2. 【例 1】(教材九上 P106 例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为 $ 4 \, m $ 的正六边形，求地基的周长和面积. (参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.732 $，结果精确到 $ 0.1 \, m^2 $)

答案： 2.解:连接OB,OC.
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴它的中心角等于$\frac {360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$.
∴△OBC是等边三角形.
∴BC=4m,地基的周长为4×6=24(m).过点O作OP⊥BC于点P.在Rt△OPB中,OB=4m,PB=$\frac {1}{2}BC=2m$,根据勾股定理,得OP=$\sqrt {4^{2}-2^{2}}=2\sqrt {3}(m)$.
∴地基的面积为$6×\frac {1}{2}×BC\cdot OP=6×\frac {1}{2}×4×2\sqrt {3}\approx 41.6(m^{2}).$

3. 如图，等边三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $. 若 $ AB = 2\sqrt{3} \, cm $，求 $ \odot O $ 的半径.

答案： 3.解:连接OB,过点O作OE⊥AB于点E.
∵等边三角形ABC内接于$\odot O$,
∴点O即是三角形内心也是外心.
∴∠OBE=30°,BE=AE=$\frac {1}{2}AB=\sqrt {3}cm$.设OB=r cm,则OE=$\frac {1}{2}r$ cm.在Rt△OBE中,$r^{2}=(\frac {1}{2}r)^{2}+(\sqrt {3})^{2}$,解得r=2.
∴$\odot O$的半径为2 cm.