《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 【例1】如图，已知在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$BD$ 是对角线，$BD\perp DC$。
(1) 求证：$\triangle ABD\backsim\triangle DCB$；
(2) 若 $AD = 2$，$BD = 5$，求 $CB$ 的长。

答案： 1.解:
(1)证明:
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵∠A=90°,BD⊥DC,
∴∠A=∠BDC=90°.
∴△ABD∽△DCB.
(2)
∵△ABD∽△DCB,
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{BD}{CB}$.
∵AD=2,BD=5,
∴$\frac{2}{5}=\frac{5}{CB}$,解得$CB=\frac{25}{2}$.

2. (教材九下 $P35$ 例 $2$ 变式) 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$ 是边 $AC$ 上一点，$DE\perp AB$ 于点 $E$。若 $DE = 2$，$BC = 3$，$AC = 6$，求 $AE$ 的长。

答案： 2.解:
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠AED=∠C=90°.又
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ACB.
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.又
∵DE=2,BC=3,AC=6,
∴$\frac{AE}{6}=\frac{2}{3}$,解得AE=4.

3. 【例2】如图，已知在 $\odot O$ 中，弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $P$。求证：$PA\cdot PB = PC\cdot PD$。

答案： 3.证明:连接AC,BD.
∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△ACP∽△DBP.
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$.
∴PA·PB=PC·PD.

4. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$PB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$，连接 $PA$ 交 $\odot O$ 于点 $C$，连接 $BC$。求证：$PB^{2} = PC\cdot PA$。

答案： 4.证明:
∵AB是⊙O的直径,PB与⊙O相切于点B,
∴∠PCB=∠ABP=90°.
∵∠P=∠P,
∴△ABP∽△BCP.
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PA}{PB}$.
∴$PB^2=PC·PA$.

5. 【例3】如图，已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，过点 $O$ 作弦 $BC$ 的平行线，交过点 $A$ 的切线 $AP$ 于点 $P$，连接 $AC$。
(1) 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle POA$；
(2) 若 $BC = 3$，$OP = 5$，求 $\odot O$ 的半径 $r$。

答案： 5.解:
(1)证明:
∵BC//OP,
∴∠AOP=∠B.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°.
∵PA是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∴∠C=∠OAP.
∴△ABC∽△POA.
(2)
∵△ABC∽△POA,
∴$\frac{BC}{OA}=\frac{AB}{PO}$.
∵BC=3,OP=5,
∴$\frac{3}{r}=\frac{2r}{5}$.
∴$r=\frac{\sqrt{30}}{2}$(负值舍去).

6. 如图，$AB$ 为半圆 $O$ 的直径，$C$ 为 $BA$ 的延长线上一点，$CD$ 切半圆 $O$ 于点 $D$，连接 $OD$，作 $BE\perp CD$ 于点 $E$，交半圆 $O$ 于点 $F$，已知 $CE = 12$，$BE = 9$。
(1) 求证：$\triangle COD\backsim\triangle CBE$；
(2) 求半圆 $O$ 的半径 $r$。

答案： 6.解:
(1)证明:
∵CD切半圆O于点D,
∴CD⊥OD.
∴∠CDO=90°.
∵BE⊥CD,
∴∠E=∠CDO=90°.又
∵∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
(2)在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,
∴$BC=\sqrt{CE^2+BE^2}=15$.
∴OC=15-r.
∵△COD∽△CBE,
∴$\frac{OD}{BE}=\frac{OC}{BC}$,即$\frac{r}{9}=\frac{15-r}{15}$,解得$r=\frac{45}{8}$.