《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 一元二次方程的一般形式：__________________________.

答案： ax²+bx+c=0(a≠0)

2. 将 $ x^{2}+4 = 5x $ 化为一元二次方程的一般形式：x²-5x+4=0，则 $ a = $1，$ b = $-5，$ c = $4.

答案： x²-5x+4=0 1 -5 4

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $.
问题：能否用配方法得出这个一般形式的解呢？
请你根据配方法的经验来解决这个问题：
移项，得ax²+bx=-c.
二次项系数化为1，得x²+$\frac{b}{a}$x=-$\frac{c}{a}$.
配方，得x²+$\frac{b}{a}$x+($\frac{b}{2a}$)²=-$\frac{c}{a}$+($\frac{b}{2a}$)²，
即(x+$\frac{b}{2a}$)²=$\frac{b²-4ac}{4a²}$.
因为 $ a\neq0 $，所以 $ 4a^{2} $＞0，式子 $ b^{2}-4ac $ 的值有以下三种情况：
(1) 当 $ b^{2}-4ac＞0 $ 时，$ x = $$\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}$；
(2) 当 $ b^{2}-4ac = 0 $ 时，$ x_{1}=x_{2}= $-$\frac{b}{2a}$；
(3) 当 $ b^{2}-4ac＜0 $ 时，无实数根.
小结：
一般地，式子 $ b^{2}-4ac $ 叫做一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0 $ 根的判别式，通常用希腊字母“$ \Delta $”表示，即 $ \Delta = b^{2}-4ac $.
归纳：
(1) 当 $ \Delta＞0 $ 时，方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 有两个不相等的实数根；
(2) 当 $ \Delta = 0 $ 时，方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 有两个相等的实数根；
(3) 当 $ \Delta＜0 $ 时，方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $没有实数根；当 $ \Delta $≥0 时，方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的实数根可写为 $ x = $$\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}$，即求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

答案： 移项，得ax²+bx=-c.二次项系数化为1，得x²+$\frac{b}{a}$x=-$\frac{c}{a}$.配方，得x²+$\frac{b}{a}$x+($\frac{b}{2a}$)²=-$\frac{c}{a}$+($\frac{b}{2a}$)²，即(x+$\frac{b}{2a}$)²=$\frac{b²-4ac}{4a²}$.因为a≠0，所以4a²＞0，式子b²-4ac的值有以下三种情况：
(1)当b²-4ac＞0时，x=$\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}$；
(2)当b²-4ac=0时，x₁=x₂=-$\frac{b}{2a}$；
(3)当b²-4ac＜0时，无实数根.小结：一般地，式子b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b²-4ac.归纳：
(1)当Δ＞0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)没有实数根；当Δ≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=$\frac{-b\pm\sqrt{b²-4ac}}{2a}$，即求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

1. 【例】用公式法解下列方程：
(1) $ x^{2}-3x-4 = 0 $；
(2) $ x^{2}-2\sqrt{2}x+2 = 0 $；

答案：
(1)
对于方程 $x^{2} - 3x - 4 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = -4$。
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-4) = 9 + 16 = 25$。
因为$\Delta＞0$，所以方程有两个不相等实数根，
根据求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$。
所以$x_1 = 4$，$x_2 = -1$。
(2)
对于方程 $x^{2} - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，其中 $a = 1, b = -2\sqrt{2}, c = 2$。
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac= (-2\sqrt{2})^{2} - 4 × 1 × 2 = 8 - 8 = 0$。
因为$\Delta = 0$，所以方程有两个相等实数根，
根据求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{2} = \sqrt{2}$。
所以$x_1 = x_2 = \sqrt{2}$。

2. 用公式法解下列方程：
(1) $ 12x^{2}+x-1 = 0 $；
(2) $ 3x^{2}+4x = -2 $；
(3) $ 2x(x - 1)+1 = 0 $.
(3) $ x(x - 3) = 2 $.

答案：
(1)
对于方程 $12x^{2} + x - 1 = 0$，
其中，$a = 12$，$b = 1$，$c = -1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 × 12 × ( - 1) = 49 ＞ 0$，
所以，$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{24}$，
即 $x_{1} = \frac{-1 + 7}{24} = \frac{1}{4}$，$x_{2} = \frac{-1 - 7}{24} = - \frac{1}{3}$。
(2)
对于方程 $3x^{2} + 4x = -2$，化简为 $3x^{2} + 4x + 2 = 0$，
其中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 2$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 × 3 × 2 = -8 ＜ 0$，
所以，方程无实数根。
(3)
对于方程 $2x(x - 1) + 1 = 0$，化简为 $2x^{2} - 2x + 1 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = -2$，$c = 1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 2 × 1 = -4 ＜ 0$，
所以，方程无实数根。
(4)
对于方程 $x(x - 3) = 2$，化简为 $x^{2} - 3x - 2 = 0$，
其中，$a = 1$，$b = -3$，$c = -2$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 × 1 × ( - 2) = 17 ＞ 0$，
所以，$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$，
即 $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$。