《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

【例】二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，对称轴是直线$x = 1$，根据函数图象用“$＞$”“$＜$”“$\geqslant$”“$\leqslant$”或“$=$”填空.

(1)根据函数图象判断$a$，$b$，$c$类：
①$a$_______$0$，$b$_______$0$，$c$_______$0$；
(2)$b^{2}-4ac$类：
②$b^{2}-4ac$_______$0$；
(3)$-\frac{b}{2a}$，$2a + b$类：
③$-\frac{b}{2a}$_______$0$；④$2a + b$_______$0$；
(4)当$x=\pm1$，$\pm2$类：
⑤$a + b + c$_______$0$，$a - b + c$_______$0$；
⑥$4a + 2b + c$_______$0$，$4a - 2b + c$_______$0$；
(5)最值：
⑦$a + b + c$_______$am^{2}+bm + c$($m$为任意实数).

答案： 1. ①
因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$；
对称轴$x =-\frac{b}{2a}=1\gt0$，$a\lt0$，则$b\gt0$；
抛物线与$y$轴交点在$y$轴正半轴，所以$c\gt0$。
2. ②
因为抛物线与$x$轴有两个交点，所以$b^{2}-4ac\gt0$。
3. ③
对称轴$x =-\frac{b}{2a}=1\gt0$。
4. ④
由$x =-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，则$2a + b=2a-2a = 0$。
5. ⑤
当$x = 1$时，$y=a + b + c$，此时$y\gt0$，所以$a + b + c\gt0$；
当$x=-1$时，$y=a - b + c$，此时$y = 0$，所以$a - b + c=0$。
6. ⑥
当$x = 2$时，$y=4a + 2b + c$，由对称轴$x = 1$，$x = 0$与$x = 2$关于$x = 1$对称，$x = 0$时$y=c\gt0$，所以$4a + 2b + c\gt0$；
当$x=-2$时，$y=4a-2b + c$，此时$y\lt0$，所以$4a-2b + c\lt0$。
7. ⑦
因为抛物线开口向下，对称轴$x = 1$，所以当$x = 1$时，$y=a + b + c$是函数的最大值，所以$a + b + c\geqslant am^{2}+bm + c$（$m$为任意实数）。
综上，答案依次为：①$\lt$，$\gt$，$\gt$；②$\gt$；③$\gt$；④$=$；⑤$\gt$，$=$；⑥$\gt$，$\lt$；⑦$\geqslant$。

1.(2024·甘孜州)二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a＞0)$的图象如图所示，给出下列结论：①$c＜0$；②$-\frac{b}{2a}＞0$；③当$-1＜x＜3$时，$y＜0$.其中所有正确结论的序号是(D)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： 1.D

2.(2024·青岛)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，对称轴是直线$x = -1$，则过点$M(c,2a - b)$和点$N(b^{2}-4ac,a - b + c)$的直线一定不经过(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.C

3.(2024·珠海斗门区期中)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图象如图，则下列说法正确的有(B)
①$abc＞0$；②$2a - b = 0$；③$a - b + c\geqslant am^{2}+bm + c$；④当$x＜1$时，$y＞0$；⑤$9a - 3b + c = 0$.

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

答案： 3.B

4.(2024·东莞期中)如图所示的是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$图象的一部分，直线$x = -1$是对称轴，有下列判断：①$b - 2a = 0$；②$4a - 2b + c＜0$；③$a - b + c = -9a$；④若$(-3,y_{1})$，$(\frac{3}{2},y_{2})$是抛物线上的两点，则$y_{1}＜y_{2}$.其中正确的是(B)

A.①②③
B.①③
C.①④
D.①③④

答案： 4.B

5.(2024·珠海香洲区期中)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象的对称轴是直线$x = 1$，有以下四个结论：①$ab＜0$；②$2a + b = 0$；③$4a + b^{2}＜4ac$；④$3a + c＜0$.其中正确的是①②④(填序号).

答案： 5.①②④