《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

9. (2023·广州珠海区期末)已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2x - 4 = 0$有两个不等的实数根.
(1)求$k$的取值范围;
(2)若方程有一个根为2,求方程的另一个根.

答案：
(1)$k＞-\dfrac{1}{4}$且$k\neq 0$;
(2)方程的另一个根为$-1$

10. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(a - 3)x - a = 0$.
(1)求证:无论$a$取何值时,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程两根的平方和为21,求$a$的值.
考点4 一元二次方程的实际应用

答案：
(1)证明:$\because a=1$,$b=-(a-3)$,$c=-a$,$\Delta =[-(a-3)]^{2}-4× 1× (-a)=a^{2}-6a+9+4a=(a-1)^{2}+8＞0$.$\therefore$无论$a$取何值时,该方程总有两个不相等的实数根;
(2)$a=-2$或$a=6$

11. (2024·茂名高州市期末)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元.每天可销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求每次降价的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价1元,每天可多销售8件.若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存,则每件应降价多少元?

答案：
(1)每次降价的百分率为10%;
(2)每件应降价3元

12. 如图1,用篱笆靠墙围成矩形花圃$ABCD$,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围,墙可利用的最大长度为15m,篱笆长为24m,设平行于墙的边$BC$长为$x$m.
(1)若围成的花圃面积为$40m^{2}$时,求$BC$的长;
(2)如图2,若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形,能否围成面积为$50m^{2}$的花圃?如果能,求$BC$的长;如果不能,请说明理由.

答案：
(1)$BC$的长为4m;
(2)不能.理由如下:根据题意,得$\dfrac{24-x}{3}\cdot x=50$,方程整理,得$x^{2}-24x+150=0$.$\because \Delta =(-24)^{2}-4× 150=-24＜0$,$\therefore$方程无实数解.$\therefore$不能围成面积为$50\ m^{2}$的花圃.