《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

圆旋转多少度能与自身重合？

答案： 解：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆绕着圆心旋转任意角度都能与自身重合。
所以圆旋转$360^{\circ}$的任意整数倍角度都能与自身重合，即圆旋转$n×360^{\circ}$（$n$为整数）能与自身重合。
综上，圆旋转$n×360^{\circ}$（$n$为整数）能与自身重合。

问题 1：圆在旋转过程中的旋转角，也就是顶点在圆心的角叫做圆心角。
问题 2：如图，把$\angle AOB$旋转到$\angle A'OB'$的位置，你可以发现哪些等量？

问题 3：如图，在$\odot O$中，弦$AB =$弦$A'B'$，则你能发现哪些相等的量？
问题 4：如图，在$\odot O$中，$\widehat{AB}=\widehat{A'B'}$，则你能发现哪些相等的量？
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。

答案： 问题1:圆心 圆心角 归纳:同圆或等圆 两个圆心角、两条弧、两条弦 ∠1=∠2 AB=A'B' $\widehat{AB}=\widehat{A'B'}$ AB=A'B' $\widehat{AB}=\widehat{A'B'}$ ∠1=∠2

1. 【例 1】（教材九上 P89 习题 T3 变式）如图，在$\odot O$中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，$\angle C = 75^{\circ}$，则$\angle A$的度数为______。

答案： 1.$30^{\circ }$

2. 如图，在$\odot O$中，$A$是$\widehat{BC}$的中点，$\angle B = 30^{\circ}$，则$\angle A$的度数为$120^{\circ }$。

答案： 2.$120^{\circ }$

3. 【例 2】如图，在$\odot O$中，$\angle AOB=\angle AOC=\angle BOC$，$AB = 1$，求$\triangle ABC$的周长。

答案： 3.解:
∵∠AOB=∠AOC=∠BOC,
∴AB=AC=BC.
∵AB=1,
∴AB=AC=BC=1.
∴AB+AC+BC=1+1+1=3.
∴△ABC的周长为3.

4. (教材九上 P84 例 3 变式)如图，在$\odot O$中，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$，$BC = 2\sqrt{3}$。
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)$\odot O$的半径为2。

答案： 4.解:
(1)证明:
∵$\widehat{AB}=\widehat{AC}$,
∴AB=AC.
∵∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形.
(2)2